Pierwiastek

Pojęcie pierwiastka istnieje w chemii i matematyce. W poniższym opracowaniu skupimy się właśnie na tej drugiej dziedzinie nauki, czyli matematyce. Pierwiastek w szczególności występuje w analizie matematycznej oraz w algebrze.

Pierwiastkowanie nazywamy działaniem odwrotnym do potęgowania. Potęgowanie jest bardzo ważnym elementem poznania definicji pierwiastka.

Definicja pierwiastka
Wzór przedstawiający czym jest pierwiastek:

W podanym zapisie:
a, b <0, +∞)
n N/1

a – liczba podpierwiastkowa
n – stopień pierwiastka
b – wynik pierwiastkowania

Przed przystąpieniem do dokładniejszego omówienia tematu „Pierwiastek” warto zaznaczyć, że jeżeli żadna liczba nie występuje przed pierwiastkiem to traktujemy ją jako 1. Tej liczby 1 nie zapisujemy przed pierwiastkiem.

Symbol pierwiastka

Jak widzimy na załączonej ilustracji symbol pierwiastka jest łamaną stworzoną przez trzy linie. Nad pierwszą i drugą linią znajduje się stopień pierwiastka, a pod trzecią linią liczba podpierwiastkowa.

Nie wiadomo dokładnie, kto jest twórcą symbolu pierwiastka, czyli . Większość źródeł podaje, że twórcami symbolu pierwiastka byli Arabowie, a mówiąc dokładniej Abu al-Hasana ibn Aliego al-Qalasadiego i opierał się na arabskiej literze oznaczającą korzeń.

Symbolu pierwiastka po raz pierwszy użył w druku Christoph Rudolff w 1525 roku w utworze pt. „Die Coss”.

Stopień pierwiastka
Stopień pierwiastka informuje nas do której potęgi należy podnieść niewiadomą liczbę, aby otrzymać liczbę podpierwiastkową. Istnieje przypadek, w którym nie jest podany stopień pierwiastka. Przyjęło się, że jeżeli nie ma podanego stopnia pierwiastka to on wynosi 2. To jest najpopularniejszy typ pierwiastka, tzw. pierwiastek kwadratowy. Drugim najpopularniejszym typem pierwiastka jest pierwiastek sześcienny, czyli pierwiastek o stopniu 3. Liczba 3 jest wpisana jako stopień pierwiastka.

Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej
Nie istnieje pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ nie istnieje taka liczba, która po podniesieniu do parzystej potęgi da nam liczbę ujemną. Przykład: = , , b R – nie może tak być, bo zgodnie z definicją potęgowania każda liczba rzeczywista podniesiona do parzystej potęgi daje nam liczbę nieujemną.

Natomiast istnieje w matematyce pojęcie takie jak „liczby wyimaginowane/urojone”. Dzięki liczbom urojonym powstał kwadrat ujemny. Matematyk Euler za wprowadził i; i było jednostką urojoną.

oraz

Ten dział jest dopiero na studiach matematycznych. Należy pamiętać, że liczby zespolone odgrywają kluczową rolę w m. in. inżynierii oraz elektrotechnice. Nie będę w tym opracowaniu więcej pisał na temat tego działu, ale należy pamiętać, że liczby zespolone istnieją i pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej też istnieje tylko w zbiorze liczb zespolonych.

Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej
Sytuacja z pierwiastkiem nieparzystego stopnia z liczby ujemnej wygląda zupełnie inaczej niż w przypadku parzystego stopnia, ponieważ takie działanie jest wykonalne w zbiorze liczb rzeczywistych. Przykład: , ponieważ
.

Wykresy funkcji
Poniżej zaprezentowane są wykresy funkcji pierwiastków, które najczęściej występują w zadaniach w szkole podstawowej i w szkole średniej.

Wykres funkcji pierwiastka kwadratowego, czyli :

Wykres funkcji pierwiastka sześciennego, czyli :

Tabliczka pierwiastkowania
Od pierwszych lat naszej przygody z matematyką uczymy się tabliczki mnożenia, czyli prezentacja wyników mnożenia liczb naturalnych. W matematyce istnieje również tzw. „tabliczka pierwiastkowania”, która pokazuje wyniki pierwiastkowania, które są liczbami naturalnymi. Zapamiętanie tabliczki pierwiastkowania umożliwia nam szybkie i sprawne operowanie na podstawowych pierwiastkach. Tabliczka pierwiastkowania zamieszczona jest na poniższej ilustracji.

Usuwanie niewymierności z mianownika
Kiedy usuwamy niewymierność z mianownika?
W przypadku, gdy pod kreską ułamkową, czyli w mianowniku mamy pierwiastek to należy licznik i mianownik pomnożyć przez liczbę, czyli pierwiastek znajdujący się w mianowniku. Przykład: – w tym ułamku w mianowniku znajduje się pierwiastek, więc należy licznik i mianownik pomnożyć w tym przypadku przez . Wychodzi nam
.
Przy usuwaniu niewymierności z mianownika nasuwa nam się pytanie: po co to robimy?
Usuwamy niewymierność z mianownika, ponieważ podczas wykonywania działań na ułamkach np. dodawanie i odejmowanie jeżeli nie mamy pierwiastków w mianowniku to mamy możliwość bezproblemowego sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Do wyłączania czynnika przed znak pierwiastka kluczowa jest umiejętność rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze. Podczas rozkładu liczby na czynniki pierwsze po prawej stronie otrzymujemy liczby pierwsze, które po pomnożeniu przez siebie dają liczbę, którą poddajemy rozkładowi. Przypomnienie: liczby pierwsze to liczby posiadające dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Takimi liczbami są, np. 2, 3, 5, 7, 11, 13. Do wyłączania czynnika przed znak pierwiastka należy także umieć cechy podzielności liczb. Najpopularniejsze cechy podzielności:
Liczba jest podzielna przez:
-2, jeżeli jej ostatnią liczbą jest 0, 2, 4, 6 lub 8,
-3, jeżeli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3,
-5, jeżeli ostatnią cyfrą tej liczby jest 0 lub 5,
-7, jeżeli suma cyfr mnożonych od prawej przez kolejne potęgi liczby 3 jest podzielna przez 7

W przypadku, gdy mamy do czynienia z pierwiastkiem kwadratowym (czyli pierwiastkiem drugiego stopnia) to jeżeli dana liczba występuje w rozkładzie 2 razy to tą liczbę dajemy przed pierwiastek. Jeżeli jest to pierwiastek sześcienny (pierwiastek trzeciego stopnia) to jeżeli dana liczba w rozkładzie występuje 3 razy to tą liczbę dajemy przed pierwiastek itd. Jeżeli więcej niż jedna liczba występuje w taki sposób to liczby przed pierwiastkiem mnożymy ze sobą. Liczby nie występujące w wymieniony sposób należy wymnożyć przez siebie i otrzymaną liczbę dajemy jako liczbę podpierwiastkową.

Przykład wyłączania czynnika przed znak pierwiastka:
Mamy liczbę . Rozkładamy liczbę podpierwiastkową, czyli 1000 na czynniki pierwsze.

Liczba 1000 jest podzielna przez 2. Po prawej stronie wpisujemy liczbę 2. 1000:2 = 500, 500 też jest podzielne przez 2. Po prawej stronie piszemy liczbę 2, a po lewej 500:2, czyli 250. Liczba 250 także jest podzielna przez 2. Również wpisujemy po prawej 2. 250:2 = 125, 125 nie jest podzielne przez 2, nie jest także na podstawie cech podzielności podzielne przez 3, ale jest podzielne przez 5. Tą liczbę zapisujemy po prawej. 125:5 = 25, 25 piszemy po lewej. Liczba 25 nie jest podzielna przez 2, nie jest podzielna przez 3, ale jest podzielna przez 5. Liczbę 5 zapisujemy po prawej, 25:5 = 5 po lewej. Liczba 5 jest podzielna przez 5, czyli 5 piszemy po prawej. 5:5 = 1, 1 zapisujemy po lewej stronie. Koniec.

Mamy pierwiastek kwadratowy, czyli w rozkładzie szukamy liczb pierwszych powtarzających się dwukrotnie. Tymi liczbami są 2 oraz 5. Liczby 2 i 5 mnożymy ze sobą i dajemy przed pierwiastek, a pozostałe liczby występujące pojedynczo mnożymy ze sobą i dajemy pod pierwiastek, czyli . Otrzymanym wynikiem jest .

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka
Skoro istnieje wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka to istnieje również włączanie czynnika pod znak pierwiastka. W przypadku włączania czynnika pod znak pierwiastka należy liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnieść do potęgi stopnia pierwiastka przed którym stoi ta liczba. Otrzymaną potęgę dajemy pod pierwiastek i mnożymy ją przez liczbę stojącą pod pierwiastkiem. Przykład: lub .

Pierwiastek z ułamka zwykłego
Do obliczania pierwiastka z ułamka zwykłego stosujemy następujący wzór:

Z tego wzoru wynika, że jeżeli mamy pierwiastek z ułamka zwykłego to osobno pierwiastkujemy licznik i osobno mianownik. W przypadku liczby mieszanej tworzymy z liczby mieszanej ułamek niewłaściwy, czyli taki, którego licznik jest większy niż mianownik. W wyniku końcowym nie może być pierwiastka w mianowniku. Jeżeli mamy pierwiastek w mianowniku to licznik i mianownik mnożymy przez ten pierwiastek. Jeżeli jest taka możliwość to skracamy licznik z mianownikiem.
Przykłady pierwiastka z ułamka zwykłego:

Pierwiastek z ułamka dziesiętnego
Istnieją dwa sposoby na obliczenie pierwiastka z ułamka dziesiętnego.
I sposób:
Zamieniamy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły i obliczamy ułamek zwykły sposobem omówionym pod nagłówkiem „Pierwiastek z ułamka zwykłego”.
II sposób:
Pierwiastkujemy ułamek dziesiętny pomijając przecinek. Potem, aby ustalić liczbę miejsc po przecinku w wyniku liczymy liczbę miejsc po przecinku, po którym znajduje się liczba pod pierwiastkiem z ułamka dziesiętnego. Następnie tą liczbę dzielimy przez stopień tego pierwiastka. Zostało to lepiej wyjaśnione na poniższej ilustracji.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków możemy podzielić na dwa zagadnienia.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków o tym samym stopniu i liczbie podpierwiastkowej
W przypadku wymienionym w nagłówku mamy do czynienia z pierwiastkami podobnymi. W takim wypadku postępujemy na zasadzie: 2 telewizory + 3 telewizory = 5 telewizorów lub 2x + 3x = 5x, czyli operujemy na liczbach stojących przed pierwiastkiem, a pierwiastki przepisujemy.
Przykłady:

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków o tym samym stopniu i różnych liczbach podpierwiastkowych
W przypadku wymienionym w temacie nagłówka trzeba liczbę podpierwiastkową przekształcić jako iloczyn dwóch liczb. Jedna z tych liczb musi być podniesiona do potęgi stopnia tego pierwiastka. Musi być kwadratem (w przypadku pierwiastków kwadratowych) lub sześcianem (jeżeli jest to pierwiastek sześcienny). Przypadek, gdy nie jest to możliwe opisany jest poniżej. Na końcu trzeba wyciągnąć czynnik przed znak pierwiastka.

Jeżeli zapisanie jednego z pierwiastków w postaci iloczynu dwóch liczb, z czego jedna musi być podniesiona do potęgi stopnia pierwiastka jest niemożliwe lub pierwiastki są różnych stopni to należy przepisać sumę lub różnicę pierwiastków na drugą stronę, ponieważ takiego działania nie da się wykonać.

Mnożenie pierwiastków
Wzory:

Podczas mnożenia dwóch pierwiastków mnożymy liczbę podpierwiastkową przez liczbę podpierwiastkową, a liczbę stojącą przed pierwiastkiem przez liczbę stojącą przed pierwiastkiem, czyli postępujemy według powyższych wzorów. Ta sytuacja dotyczy tylko sytuacji, gdy oba pierwiastki są tego samego stopnia. Jeżeli nie są tego samego stopnia to mnożenia nie wykonujemy. Na końcu (o ile to możliwe) wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka.

Dzielenie pierwiastków
Wzory:

Na podstawie powyższych wzorów możemy dojść do wniosku, że podczas dzielenia pierwiastków postępujemy bardzo podobnie jak przy ich mnożeniu, czyli liczbę podpierwiastkową dzielimy przez liczbę podpierwiastkową, a liczbę przed pierwiastkiem przez liczbę przed pierwiastkiem. Dzielenie pierwiastków możemy zapisać normalnie (używając „:”) lub za pomocą kreski ułamkowej. Dzieląc pierwiastki można skracać ze sobą liczby podpierwiastkowe.

Pierwiastek z potęgi
Wzory:

Zauważmy, że wynikiem każdego powyższego pierwiastkowania jest wartość bezwzględna z x, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną.
Następne wzory:

W podanych wzorach występują pierwiastki z potęg nieparzystych, czyli jeżeli mamy liczbę podpierwiastkową ujemną podniesioną do potęgi nieparzystej to otrzymujemy liczbę ujemną, a jeżeli liczba podpierwiastkowa jest dodatnia i podniesiemy ją do potęgi nieparzystej to otrzymamy liczbę dodatnią.

Jeżeli jest taka możliwość to skracamy ze sobą potęgę do której jest podniesiony pierwiastek z stopniem tego pierwiastka.