Pierwiastek wielomianu

1.Pierwiastkiem wielomianu nazywamy miejsce przecięcia wykresu tego wielomianu z osią OX.
2.Liczba pierwiastków wielomianu nie może być większa niż jego stopień, np. wielomian stopnia 5 [st(w) = 5] może mieć maksymalnie 5 miejsc zerowych (pierwiastków równania).
3.Podczas rozwiązywania równań wielomianowych korzystamy przede wszystkim z rozkładu wielomianu na czynniki. Wówczas zapisujemy wielomian w formie iloczynu kilku innych wielomianów (możliwie jak najniższego stopnia) i korzystając z wiedzy, że aby iloczyn kilku czynników był równy 0, to przynajmniej jeden jego czynnik musi być równy 0 obliczamy jego miejsca zerowe.

Przykład 1:
Znajdź pierwiastki wielomianu w(x) = x3-7x2+12x.
Jeśli w(x)=0 , mówimy, że „x” jest pierwiastkiem wielomianu.
x3-7x2+12x = 0
x(x2-7x+12) = 0
= 49 – 4 12 = 1
x1 = = 4
x2 = = 3
x(x-4)(x-3)=0
x = 0 lub x = 4 lub x = 3
Odp. Pierwiastki wielomianu w(x) to 0, 4 i 3.

Przykład 2:
Znajdź sumę pierwiastków wielomianu w(x) = x5-4x3-8x2+32.
x5-4x3-8x2+32 = 0
x3(x2-4)-8(x2-4) = 0
(x2-4)(x3-8) = 0
(x-2)(x+2)(x-2)(x2+2x+4) = 0
(x-2)2(x+2)(x2+2x+4) = 0
= 4 – 4 4 < 0
x = 2 lub x = 2
S = 2 + (-2) = 0
Odp. Suma pierwiastków wielomianu w(x) jest równa 0.

Przykład 3:
Sprawdź, czy x = 3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x) = x3-3 x2+ x-6.
Jeśli w( )=0 , mówimy, że „ ” jest pierwiastkiem wielomianu.
w(3 ) = (3 )3 – 3 (3 )2 + 3 -6 =54 -3 18 +6 -6 = 0
Odp: x=3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Przykład 4:
Określ liczbę pierwiastków wielomianu w(x) = x3-5x+4.
w(x) = x3-5x-4 = x3-4x-x+4. = x(x2-1)-4(x-1) = x(x+1)(x-1) – 4(x-1) = (x-1)(x2+x-4)
(x-1)(x2+x-4) = 0
= 1+16 = 17
=
x1 =
x2 =
Pierwiastki tego wielomianu to: 1, oraz .
Odp. Liczba pierwiastków wielomianu w(x) jest równa 3.

Przykład 5:
Oceń prawdziwość zdania: liczby -3 i 1 są jedynymi pierwiastkami wielomianu
w(x) = x3+3x2-x-3 .
Rozwiązanie:
x3+3x2-x-3 = 0
x2(x+3) -1 (x+3) = 0
(x2-1)(x+3) = 0
(x+1)(x-1)(x+3) = 0
x = -1 lub x = 1 lub x = -3
Odp. Zdanie jest fałszywe, ponieważ -3 i 1 nie są jedynymi pierwiastkami wielomianu w(x).