Opracowanie:
Pierwiastek z 2
Pierwiastek z 2
Pierwiastek z 2
W tym opracowaniu dowiesz się:
Czym jest potęga.
Czym jest pierwiastek.
Jaką wartość ma pierwiastek z 2 drugiego stopnia.
Jaką wartość ma pierwiastek z 2 trzeciego stopnia.
Jak mnożyć ze sobą pierwiastki.
Jak dzielić przez siebie pierwiastki.
Jak dodawać do siebie pierwiastki.
Jak odejmować od siebie pierwiastki.
1. Czym jest potęga?
Zanim opowiem o tym, czym jest potęga najpierw warto zwrócić uwagę na to jak wygląda i w jaki sposób nazywamy jej poszczególne elementy. Potęga składa się z podstawy potęgi oraz wykładnika potęgi, który znajduje się w prawym górnym indeksie po prawo od podstawy potęgi.
Potęga wygląda następująco:
a – podstawa potęgi
b – wykładnik potęgi
Potęgą nazywamy działanie które polega na tym, że liczbę znajdującą się w podstawie potęgi wymnażamy przez siebie tyle razy, ile wskazuje liczba zapisana w wykładniku potęgi. Jeśli w podstawie potęgi będzie liczba 3, a w wykładniku potęgi będzie 2 , to wtedy liczbę 3 wymnażamy przez siebie 2 razy co daje nam wynik 9
2. Czym jest pierwiastek?
Pierwiastek jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Warto na samym początku wspomnieć o tym z czego składa się pierwiastek, a dopiero następnie mówić o tym w jaki sposób oblicza się pierwiastek liczby.
Pierwiastek składa się ze znaku pierwiastka, ze stopnia pierwiastka , który leży po lewej stronie w indeksie górnym od znaku pierwiastka oraz liczby podpierwiastkowej, która jak sama nazwa wskazuje leży pod znakiem pierwiastka.
Pierwiastek wygląda następująco:
a – stopień pierwiastka
– znak pierwiastka
b – liczba podpierwiastkowa
3. Jaką wartość ma pierwiastek z 2 drugiego stopnia?
Pierwiastek z 2 drugiego stopnia w przybliżeniu wynosi
4. Jaką wartość ma pierwiastek z 2 trzeciego stopnia?
Pierwiastek z 2 trzeciego stopnia w przybliżeniu wynosi
5. Jak mnożyć ze sobą pierwiastki?
Pierwiastki możemy ze sobą mnożyć, jedynie w przypadku gdy są one tego samego stopnia. Dokładniej mówiąc mam na myśli prostą metodę, która polega na tym, że liczby podpierwiastkowe podstawiamy pod pierwiastek i je mnożymy ze sobą. Oczywiście innym sposobem da się mnożyć pierwiastki o różnych stopniach, lecz muszą mieć one taką samą podstawę. Oba przypadki wytłumaczę przy pomocy dwóch przykładów w których zaprezentuję w jaki sposób mnożyć pierwiastki.
Mnożenie pierwiastków o tym samym stopniu.
Pierwiastki o tym samym stopniu mnożymy ze sobą, podstawiając pod pierwiastek (tego samego stopnia co w czynnikach) iloczyn liczb podpierwiastkowych.
Wzór na iloczyn pierwiastków:
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
Mnożenie pierwiastków o tych samych liczbach podpierwiastkowych, ale różnych stopniach.
Aby móc mnożyć pierwiastki o tych samych liczbach podpierwiastkowych, ale różnych stopnia używa się wzoru podanego poniżej. Aby móc go użyć, należy wiedzieć, w jaki sposób zamienia się pierwiastek na potęgę oraz w jaki sposób się mnoży pierwiastki o tych samych podstawach.
Pierwiastek na potęgę zamienia się, podstawiając liczbę podpierwiastkową pod:podstawę potęgi, a pod wykładnik potęgi podstawiamy ułamek, w którym licznikiem jest potęga do której jest podniesiona liczba podpierwiastkowa, a mianownikiem jest stopień pierwiastka.
Wzór na zamianę pierwiastka na potęgę:
Potęgi o tych samych podstawach, ale różnych wykładnikach, mnożymy ze sobą podstawiając podstawę potęgi do sumy wszystkich wykładników potęgi, dla których obliczamy iloczyn.
Wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach:
Aby móc obliczyć iloczyn pierwiastków o takich samych podstawach, należy zamienić iloczyn pierwiastków na iloczyn potęg, a następnie podstawiamy podstawę potęgi pod sumę wykładników potęg.
Wzór na iloczyn pierwiastków o tych samych liczbach podpierwiastkowych:
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
6. Jak dzielić przez siebie pierwiastki?
Pierwiastki możemy przez siebie dzielić jedynie w przypadku gdy mamy pierwiastki tego samego stopnia. Jeśli są one jednak o różnych stopniach ale mają te same liczby podpierwiastkowe, to wtedy da się można je przez siebie podzielić, ale tutaj tak samo jak w mnożeniu, będzie potrzebna znajomość tego w jaki sposób zamienia się pierwiastki na potęgi oraz w jaki sposób dzieli się potęgi.
Dzielenie potęg o tych samych stopniach.
Pierwiastki o tych samych stopniach dzieli się przez siebie, podstawiając iloraz liczb podpierwiastkowych pod pierwiastek o tym samym stopniu co znajduje się w dzielniku oraz dzielnej.
Wzór na obliczenie ilorazu pierwiastków o tych samych stopniach:
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
Dzielenie pierwiastków o tych samych liczbach podpierwiastkowych, ale różnych stopniach.
Aby móc obliczyć iloraz pierwiastków o tych samych liczbach podpierwiastkowych, ale różnych stopniach, tak jak wcześniej wspomniałem należy wiedzieć w jaki sposób zamienia się pierwiastek na potęgę oraz w jaki sposób dzieli się potęgi. W poprzednim punkcie wytłumaczyłem już w jaki sposób zamieniać pierwiastki na potęgi, więc teraz przejdę do wytłumaczenia dzielenia potęg o tych samych podstawach, ale różnych wykładnikach.
Aby móc podzielić przez siebie potęgi o tych samych podstawach, należy podstawę potęgi pojawiającą się w dzielniku oraz dzielnej podstawić pod wykładnik potęgi równy różnicy wykładników potęg.
Wzór na obliczenie ilorazu potęg o tych samych podstawach potęgi:
Aby móc podzielić przez siebie pierwiastki o różnych stopniach, to muszą mieć one taką samą liczbę podpierwiastkową. Gdy liczby podpierwiastkowe są takie same, to zamieniamy dzielenie pierwiastków na dzielenie potęg, a następnie podstawiamy podstawę potęgi do różnicy wykładników potęg znajdujących się w dzielniku oraz dzielnej.
Wzór na obliczenie ilorazu pierwiastków o tych samych podstawach, ale różnych stopniach:
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
7. Jak dodawać do siebie pierwiastki?
Pierwiastki możemy ze sobą dodawać, jedynie gdy mają one taki sam stopień oraz taką samą liczbę podpierwiastkową. Oczywiście jest możliwość dodawania do siebie pierwiastków o różnych liczbach podpierwiastkowych, lecz nie zawsze jest to możliwe. Jest to możliwe jedynie w przypadku, gdy po rozłożeniu liczby na czynniki pierwsze i wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka otrzymamy identyczne liczby podpierwiastkowe. Poniżej przedstawię w jaki sposób dodawać do siebie pierwiastki z różnymi liczbami podpierwiastkowymi, które mogą być takie same.
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
8. Jak odejmować od siebie pierwiastki?
Pierwiastki możemy od siebie odjąć jedynie w przypadku, gdy mają one ten sam stopień oraz liczba podpierwiastkowa w obu liczbach jest taka sama. Tak jak w dodawaniu jest możliwość (choć nie zawsze) sprowadzenia liczb podpierwiastkowych do tych samych wartości, lecz to przedstawię na podstawie przykładu.
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
Dziękuję za uwagę.