Pierwiastek z 5

Pierwiastki – co to ?
Jest to odwrotność potęgowania. Pierwiastek liczby „e” stopnia „w” jest równy liczbie „f”, kiedy „f” podniesione do potęgi „w” jest równe wartości liczby „e”. Czyli:
=f, jeżeli fw=e
Teraz przedstawię przykład na konkretnych liczbach:
=2, ponieważ 23=8
Symbol pierwiastka zapisujemy używając symbolu – „„
„” – ten zapis oznacza pierwiastek z liczby „x”.
Jeżeli mamy do czynienia z pierwiastkiem stopnia drugiego nie musimy pisać cyfry 2 nad znakiem pierwiastka, czyli

Pierwiastek z liczby pięć:
Pierwiastek z pięciu () jest większy od pierwiastka z czterech (), który daję liczbę 2, a mniejszy od pierwiastka z dziewięciu (), który jest równy liczbie 3. Zapisujemy to w następujący sposób:

< <

Pierwiastek z pięciu porównujemy do najbliższych liczb całkowitych, których pierwiastki dają także liczby całkowite. Przedstawię to poniżej:

Tym sposobem potwierdziłam, że pierwiastek z pięciu () znajduje się pomiędzy liczbami dwa (2) oraz trzy (3). Jest on równy około:
2.2360679775

Teraz przedstawię gdzie w przybliżeniu mieści się pierwiastek z pięciu na osi liczbowej:

Teraz podawałam wartości pierwiastka z pięciu drugiego stopnia. Teraz podam wartości pierwiastka z pięciu innych stopni (są to wartości zaokrąglone, na początku z dużą ilością cyfr po przecinku, a potem z zaokrągleniem do części setnych – zgodnie z regułami zaokrąglania) :
1,24573093962 1,25
1,49534878122 1,5
1,37972966146 1,38

Ile wynosi pierwiastek z 5 w systemie dwójkowym i szesnastkowym?
W systemie dwójkowym, w którym można używać tylko cyfr 0 oraz 1, wartość liczby pierwiastek z pięciu zapisujemy w postaci około:
10,00111100011011111
W systemie szesnastkowym, w którym do reprezentacji każdej liczby możemy użyć cyfr z zakresu od 0 do 15. Liczbę przedstawimy jako miej więcej:
2,3C6EF372FE94

Zadanie 1:
Oblicz długość przekątnej w prostokącie o bokach 1m oraz 2m.

Zadanie 2:
Jak można skonstruować odcinek, którego długość jest równa pierwiastek z 5 ?

Zadanie 3:
Oblicz wartość wyrażenia pierwiastka z 75 ?

Odpowiedź 1:
Długość przekątnej w prostokącie obliczę z twierdzenia Pitagorasa. By zobrazować treść zadania, poniżej przedstawiłam rysunek.

Wzór z twierdzenia Pitagorasa:
|CD|2+|BC|2=x2
1m2+4m2=5m2
x = m
„” geometrycznie jest równy przekątnej prostokąta o bokach 1 oraz 2.

Odpowiedź 2:
Na początku rysuję linię prostą, a następnie wyznaczam odcinek AB leżący na tej prostej. Konstruuję symetralną odcinka AB w ten sposób otrzymuję dwie proste przecinające się pod kątem prostym. Za pomocą cyrkla odmierzam odcinek o długości 1 na jednym ramieniu otrzymanego kąta prostego, a następnie odmierzam odcinek o długości 2 na drugim ramieniu kąta prostego. Teraz łączę otrzymane punkty uzyskując długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym. Następnie Posługując się twierdzeniem Pitagorasa, mogę policzyć długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym. Jest to pierwiastek z sumy kwadratów długości przyprostokątnych w trójkącie (tutaj długości te wynoszą 1 oraz 2), zatem długość przeciwprostokątnej w takim razie wynosi:
=

Liczba Phi – czyli złota liczba:
Liczba „” występuje we wzorze na wartość tzw. złotej liczby, która jest związana z pojęciem złotego podziału odcinka. Przedstawię to na poniższym rysunku:

Złoty podział odcinka polega na tym, aby podzielić ten odcinek w takim stosunku, aby stosunek większej części (e) do mniejszej (f) był równy stosunkowi długości całego odcinka (e+f) do większej części (e).
Liczbę Phi oznaczamy symbolem „„.
Liczba phi jest równa:
= =

Wartość liczby jest równa lub

Odpowiedź 3:

Ciekawostki:
Ciekawostką jest to, że w 2019 roku zdołano określić wartość liczby z dokładnością do co najmniej 2*1012 cyfr.
Przybliżenie liczby z dokładnością do części tysięcznych czyli 2,236 określa jej wartość z dokładnością do 0,01%.
Najbliższym przybliżeniem wartości liczby w zbiorze liczb wymiernych jest ułamek , którego wartość tylko o 0,0001 różni się od .