Pierwiastki

Pierwiastki
Wstęp
W tym opracowaniu postaram się omówić wyczerpująco temat pierwiastków. Będę zwracać uwagę na zadania często pojawiające się w szkole. Pojawią się tu również różnego rodzaju grafiki pomocnicze tworzone przeze mnie. Mam nadzieję, że dzięki temu opracowaniu przyswajanie wiadomości o pierwiastkach będzie łatwiejsze oraz przyjemniejsze.
Powodzenia!

PIERWIASTKI KWADRATOWE
Warto zacząć od samego symbolu pierwiastka kwadratowego, inaczej drugiego stopnia i prostego przykładu.

Na podstawie tej grafiki można wywnioskować, że wynik podniesiony do kwadratu jest liczbą pod pierwiastkiem. Tak, jak jest też pokazane, przy symbolu pierwiastka drugiego stopnia (kwadratowego) nie pojawia się cyfra 2, lecz w wyższych stopniach cyfry już trzeba pisać (np. 3√).

Definicja pierwiastka kwadratowego pokazuje zależność między liczbą pod pierwiastkiem, a wynikiem:
√a=b<=>b2=a

Należy tu dodać, że pierwiastkowanie jest przeciwieństwem potęgowania, co przydaje się na przykład przy rozwiązywaniu równań.
Inne przykłady pierwiastków, których wynikiem jest liczba całkowita:
√1=1, bo 12=1
√4=2, bo 22=4
√9=3, bo 32=9
√16=4, bo 42=16
√25=5, bo 52=25
√36=6, bo 62=36
√49=7, bo 72=49
√64=8, bo 82=64
√81=9, bo 92=81
√100=10, bo 102=100
√121=11, bo 112=121
√144=12, bo 122=144
√169=13, bo 132=169
√196=14, bo 142=196
√225=15, bo 152=225

Kolejną istotną wiadomością jest fakt, że nie ma pierwiastka KWADRATOWEGO z liczby UJEMNEJ. Gdyby wynikiem takiego działania była liczba ujemna, nie zgadzałaby się z liczbą pod pierwiastkiem, ponieważ liczba ujemna•liczba ujemna=liczba dodatnia.
Z drugiej strony, gdyby wynikiem byłaby liczba dodatnia, też by się to nie zgadzało bo liczba dodatnia•liczba dodatnia=liczba dodatnia. Jeszcze inaczej: gdyby była liczba dodatnia•liczba ujemna=liczba ujemna, ALE nie zgadza się to z samą definicją pierwiastka kwadratowego, ponieważ mamy tu dwie różne liczby! Ogólnie nie ma pierwiastków o parzystym stopniu z liczb ujemnych.

Następną ciekawą rzeczą jest pierwiastek kwadratowy z ułamków. Rozważmy więc przykład:

Dlaczego?
Dzieje się tak, ponieważ musimy wyciągnąć pierwiastek zarówno z licznika, jak i z mianownika, wynik zapisać w formie ułamka, ewentualnie doprowadzić do najprostszej postaci.

Inne przykłady:

Przy ułamkach należy wspomnieć również o pierwiastkach z liczb mieszanych. Rozważę przykład:

Wniosek: aby wyciągnąć pierwiastek z liczby mieszanej, należy ją przed tym zamienić na ułamek niewłaściwy, potem wyciągać pierwiastki z licznika i mianownika.

Dodawanie pierwiastków (prostsze).
Mówiąc ,,prostsze’’, mam na myśli, że wynikiem każdego pierwiastka będzie liczba całkowita lub ułamek zwykły, który będzie można bardzo łatwo dodać do reszty, np.

Odejmowanie pierwiastków (prostsze).
Sprawa wygląda tu tak, jak przy dodawaniu powyżej:

Własności pierwiastków
Mnożenie:

lub

Zatem można pomnożyć przez siebie albo wyniki z obu pierwiastków, albo wciągnąć pod pierwiastek iloczyn dwóch liczb podpierwiastkowych.
Wniosek: iloczyn pierwiastków jest równy pierwiastkowi z iloczynu.

Dzielenie.

lub

A więc można podzielić przez siebie albo wyniki z obu pierwiastków, albo wciągnąć pod pierwiastek iloraz dwóch liczb podpierwiastkowych.
Wniosek: Iloraz pierwiastków jest równy pierwiastkowi z ilorazu.
WAŻNE! Własności pierwiastków sprawdzają się tylko przy mnożeniu i dzieleniu, nie przy dodawaniu i odejmowaniu.
Inne przykłady:
√54:√6=√54:6=√9=3
√22,5•√10=√22,5•10=√225=15
√12,5•√2=√25=5
√2•√32=√64=8
√3,6•√10=√36=6
√40•√10=√400=20

Wyciąganie liczby przed pierwiastek:
pierwiastki niektórych liczby nie są liczbami całkowitymi – ich wynik można przedstawić na dwa sposoby:
a)przybliżenie-rzadziej się go używa, bardzo popularnym przybliżeniem jest √2, czyli około 1,41
b)wyciągnięcie liczby przed pierwiastek- używa się go częściej, bardzo łatwo się je robi, np. √20=2√5.
A teraz samo wyciąganie.
Tak, jak przedstawiłam to na tej grafice, wystarczy:
– liczbę spod pierwiastka rozłożyć na czynniki pierwsze;
– wśród czynników szukamy liczb, które powtarzają się dwukrotnie (LUB więcej, ale wtedy tworzymy kolejne pary po dwie)- to one idą przed pierwiastek, jak jest np. Para: 2, 5, 3, to wtedy musimy te cyfry pomnożyć przez siebie i ich iloczyn idzie przed pierwiastek;
– cyfry, które ,,nie mają pary’’ należy przez siebie pomnożyć-iloczyn idzie pod pierwiastek.
UWAGA!! Może pojawić się sytuacja, w której nie będzie żadnej ,,samotnej’’ cyfry. Wtedy wynik jest liczbą całkowitą!! Przedstawię to za pomocą liczby 64:

Skoro można wyciągnąć liczbę przed pierwiastek, to liczby pod pierwiastek można też ,,schować’’. Przy pierwiastkach kwadratowych liczbę przed pierwiastkiem podnosimy do potęgi drugiej, mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem i iloczyn ,,chowamy pod pierwiastek’’.

a√b=√a2•b
Tak wygląda wzór na chowanie liczby pod pierwiastek. Gdy się go zapamięta, łatwo będzie można w każdej chwili schować dowolną liczbę.

Dodawanie pierwiastków (trudniejsze).
Rozważmy przykład:
√125+√20=?
Aby odkryć wynik, należy sprawdzić, czy da się wyłączyć jakieś liczby przed pierwiastek, tak aby w obu przypadkach pod pierwiastkiem zostały takie same liczby. By móc dodać do siebie liczby pod pierwiastkiem MUSZĄ być takie same! Więc tutaj:
5√5+2√5=7√5
Opiera się to na zasadzie: 2 +5 =7
A co, gdy pojawia się takie działanie?
√125+√64+√20+√800+√450=?
To proste! Wtedy należy pododawać to co ma taką samą liczbę pod pierwiastkiem, wyniki z liczbami całkowitymi po prostu zostawiamy tak, jak są.
5√5+8+2√5+20√2+15√2=7√5+35√2+8 <- tu mamy wynik Dodawanie i odejmowanie pierwiastków w jednym!
√8+√72-√98+√24-√6=2√2+6√2-7√2+2√6-√6=√2+√6
√8=2√2
√72=6√2
√98=7√2
√24=2√6
Moje obliczenia:

Pierwiastki kwadratowe, a pole kwadratu.
Jest to kolejna ciekawa rzecz oraz ułatwienie na odkrycie boku a, gdy mamy podane pole powierzchni kwadratu. Sprawa jest prosta- wystarczy wyciągnąć pierwiastek z wartości pola powierzchni kwadratu. Ale dlaczego?
Jak powszechnie wiadomo, wzór na pole kwadratu to P=a•a, lecz a•a można zapisać również w formie a2, a przecież pierwiastek jest przeciwieństwem potęgowania. Poniższa grafika prezentuje przykładowe rozwiązanie:

Pierwiastki kwadratowe, a pola figur geometrycznych.
Jest to temat, który często pojawia się przy różnych zadaniach w szkole, więc wypada je dobrze rozumieć. By je umieć wystarczy znać własność pierwiastków (tu kwadratowych) oraz wzory na pola figur, które pojawią się w następnych linijkach. Oto podstawowe wzory:
a) kwadrat: P=a•a
b)prostokąt: P=a•b
c)trójkąt: P=1/2•a•h
d)trapez: P=1/2(a+b)•h
e)równoległobok: P=a•h
f)romb: P=a•h lub P=1/2•e•f
g)deltoid: P=1/2•e•f
Przykładowe zadane może brzmieć następująco: Oblicz pole trójkąta, którego wysokość wynosi 2√18cm, a bok, na który opada ta wysokość ma długość 5√2cm. Wynik podaj w cm2.
Więc krok po kroku:
1. Przypomnij sobie pole trójkąta- P=1/2•a•h;
2. zapisz informacje, które podano w poleceniu oraz wzór na pole;
3. zapisz wzór jeszcze raz, ale już z podstawionymi wartościami: a=5√2cm,
h=2√18cm;
4.oblicz wartość pola: 1/2•5√2cm•2√18cm=1/2•10√36cm2=1/2•10•6cm2=1/2•60cm2=30cm2
W punkcie czwartym liczby pod pierwiastkiem mnożymy przez siebie i liczby przed pierwiastkiem też przez siebie mnożymy.

Następną bardzo ważną rzeczą jest usuwanie niewymierności z mianownika. Przyjęło się, że w mianowniku, czyli dolnej części ułamka zwykłego, nie może być pierwiastek. No więc trzeba go usunąć. Rozważmy przykłady:

Łatwo można więc wywnioskować, że trzeba ułamek pomnożyć przez pierwiastek z mianownika podzielony przez siebie (√x/√x). W skrócie:liczba niewymierna może być w liczniku, ale nie w mianowniku!

PIERWIASTKI SZEŚCIENNE
Pierwiastki sześcienne są już troszkę bardziej skomplikowane od kwadratowych, lecz nadal są proste. Zacznę od prostego przykładu:
∛8=2
Można tutaj zauważyć, że tak, jak w pierwiastkach kwadratowych wynik podniesiony do potęgi (tutaj trzeciej, bo mamy pierwiastek trzeciego stopnia) daje liczbę podpierwiastkową.
Dobrze to też widać przy samej definicji pierwiastka sześciennego.
∛a=b<=>=a
Inne przykłady:
∛27=3, bo =27
∛1=1, bo =1
∛216=6, bo =216
∛125=5, bo =125
∛512=8, bo =512
∛64=4, bo =64
∛343=7, bo =343
∛729=9, bo =729
∛1000=10, bo 10=1000
W porównaniu do pierwiastka kwadratowego, pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje! Można to udowodnić na przykładzie:
∛-8=-2, bo =-8
Dlaczego? Bo liczba ujemna•liczba ujemna•liczba ujemna=liczba ujemna.
Inne przykłady:
∛-27=-3, bo =-27
∛-1000=-10, bo =-1000
∛-216=-6, bo -6=-216
∛-343=-7, bo -7=-343
Pierwiastek z liczby podniesionej do potęgi.
Sytuacja prezentuje się tutaj tak, że gdy stopień potęgi i pierwiastka są takie same ,,kasują się nawzajem”. Natomiast, gdy stopień potęgi i pierwiastka są różne, to wtedy najpierw trzeba liczbę podnieść do tej potęgi, a potem wyciągnąć pierwiastek.
Przykład takiego samego stopnia:
∛=2
∛=a
Przykład z różnymi stopniami:
∛=∛64=4

Dodawanie pierwiastków sześciennych (łatwe)
Sprawa przedstawia się tak, że znowu- wyciągamy pierwiastki z każdej liczby i dodajemy. Ale uwaga! Tutaj pojawią się również liczby ujemne! Przykład:
∛27+∛216+∛-8=3+6+(-2)=9-2=7

Odejmowanie pierwiastków sześciennych (łatwe)
∛64-∛27-∛125=4-3-5=-4
Pierwiastek sześcienny z ułamków zwykłych i dziesiętnych.
Przykład:
∛==
A więc możemy wywnioskować, że należy wyciągnąć pierwiastek z licznika i mianownika.
Inne przykłady:
∛ ==
∛=
Ułamki dziesiętne- przykłady:
∛-0,064=-0,4
∛-0,125=-0,5
Ja jednak osobiście polecam operować na ułamkach zwykłych, lecz to już w zasadzie zależy od gustu.

Własności pierwiastków sześciennych.
W zasadzie są one dość podobne do własności pierwiastków kwadratowych, ale minimalnie się różnią i trzeba zawsze mieć to z tyłu głowy. Oto one:
∛a•∛b=∛a•b- dotyczy to mnożenia. Oznacza, że iloczyn pierwiastków jest równy pierwiastkowi z iloczynu, np.
∛2•∛108=∛2•108=∛216=6

∛a:∛b=∛a:b- dotyczy to dzielenia. Oznacza, że iloraz pierwiastków jest równy pierwiastkowi z ilorazu, np.
∛32:∛4=∛8=2
Własności te dotyczą tylko mnożenia i dzielenia.

Wyciąganie liczby przed pierwiastek.
Wyciąganie liczby przed pierwiastek sześcienny jest bardzo podobne do wyciągania przed pierwiastek kwadratowy, lecz różni się tylko jedną rzeczą, a mianowicie-zamiast par, które idą przed pierwiastek, są trójki. Przykładowe wyciąganie:

Chowanie liczby pod pierwiastek sześcienny.
Znowu- bardzo podobne do chowania pod pierwiastek kwadratowy. Jedyna różnica to fakt, że przed schowaniem liczby, podnosimy ja do potęgi trzeciej, np.
2∛5=∛8•5=∛40
4∛3=∛64•3=∛192
10∛7=∛1000•7=∛7000
5∛5=∛125•5=∛625
7∛2=∛343•2=∛686
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków sześciennych (trudniejsze).
Np.
∛2000+∛686-∛250=?
Wyciągamy liczby przed pierwiastek (z każdej liczby);
∛2000=10∛2, ∛686=7∛2, ∛250=5∛2
10∛2+7∛2-5∛2=17∛2-5∛2=12∛2
Gdy pojawia się sytuacja, w której jest np.
5∛3+8∛3-∛3+7∛10=?
Dodajemy i odejmujemy wtedy tylko to, co ma taką samą liczbę pod pierwiastkiem, resztę pozostawiamy bez zmian.
5∛3+8∛3-∛3+7∛10=10∛3+7∛10

Pierwiastki sześcienne, a objętość sześcianu.
Operując na pierwiastkach sześciennych mamy ułatwienie w odkrywaniu boku a, gdy mamy podaną objętość sześcianu. Rozważmy przykład:
V=512cm
a=?
Jak rozwiązać takie zadanie?
Na początku warto przypomnieć sobie wzór na objętość sześcianu-V=. A więc skoro =512cm to jedno a będzie wynosić a=∛V. Wiemy już, że ∛512=8, więc nasze a będzie wynosić 8cm.

Ciekawostka o pierwiastkach sześciennych.
W matematyce istnieje siedem liczb, z których pierwiastek sześcienny jest równy sumie cyfr w tej liczbie i są to:
∛0=0
∛1=2
∛512=5+1+2=8
∛5832=5+8+3+2=18
∛17576=1+7+5+7+6=26
∛19683=1+9+6+8+3=27

Źródła:
Zeszyt od matematyki, głowa oraz witryna: matematyczny-swiat.pl