Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się jak pierwiastkować liczby zespolone.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych – wprowadzenie:
Kiedy chodziliśmy do szkoły podstawowej równanie typu x2 = 4 miało dla nas jedno rozwiązanie (x = 2). Było tak dlatego, że początkowo „poruszaliśmy” się tylko po liczbach naturalnych. Później (gdy poznaliśmy już liczby całkowite) dowiedzieliśmy się że liczba (-2) również spełnia te równanie. Podobnie jest z liczbami zespolonymi np. równanie = x ma dla nas (na razie) jedno rozwiązanie. Kiedy jednak rozszerzymy nasz system liczbowy z liczb rzeczywistych do liczb zespolonych, otrzymamy jeszcze trzy inne rozwiązania.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych – wzór:
Ogólnie kiedy mamy daną jakąś liczbę zespoloną pod pierwiastkiem n-tego stopnia to zawsze w wyniku takiego pierwiastkowania otrzymujemy dokładnie n rozwiązań. Istnieje również wzór na pierwiastkowanie liczb zespolonych, mający postać:
dla k <0, n-1> oraz k Z (całkowitych)

Pierwiastkowanie liczb zespolonych – przykład:
Weźmy ten przykład z początku, czyli chcemy wiedzieć ile wynosi (w zbiorze liczb zespolonych). Skorzystamy oczywiście z poznanego wyżej wzoru, ale zanim to zrobimy, obliczmy najpierw moduł oraz argument liczby jeden. Liczba jeden jest liczbą zespoloną, czyli możemy ją zapisać w postaci: z = a + bi , a konkretniej będzie to wyglądać tak: z = 1 + 0i (a = 1 oraz b = 0). Moduł tej liczby zespolonej wynosić będzie: IzI = = = 1. Argumentem tej liczby zespolonej będzie natomiast wartość φ w równaniu: sinφ = . A skoro sinφ = to φ = 0.
Teraz (wiedząc, że IzI = 1, φ = 0 oraz n = 4) możemy obliczyć wartość :

W tym przypadku (gdy n = 4) k = {0, 1, 2, 3}, czyli otrzymamy cztery różne rozwiązania:

1° – Gdy k = 0 to:
= = = = =

2° – Gdy k = 1 to:
= = = = =

3° -Gdy k = 2 to:
= = = = =

4° -Gdy k = 3 to:
= = = = =

A zatem ma cztery rozwiązania i są to: 1 , i , (-1) , (-i).

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jak pierwiastkować liczby zespolone.