Pochodna funkcji w punkcie

Załóżmy, że chcemy obliczyć zmianę wartości funkcji w danym punkcie . Aby tego dokonać, zazwyczaj można użyć średnią zmianę w dowolnej okolicy punktu . Używa się do tego wzoru: (dla różnego od ).
Dla przykładu niech , a mamy znaleźć zmianę dla . W takim przypadku jako użyć można np. . Podstawiając wszystko do wzoru otrzymujemy: . Jest to zgodne z prawdą, ponieważ zwiększając o , zwiększa się o .

Ta metoda może okazać się niewystarczająca np. dla funkcji kwadratowych (należałoby wybrać nieskończenie małą ). Dlatego powstał inny sposób na obliczanie zmian wartości funkcji, jakim jest różniczkowanie, czyli znajdywanie pochodnych. Za pomocą tychże można wyznaczyć zmianę dokładnie w danym punkcie, a nie jego okolicy.
Żeby je obliczyć, należy najpierw znać pojęcie granicy funkcji. Granicę funkcji dla dążącego do zapisuje się jako: . Jest nią wartość, do której „dążą” wartości w okolicy .
Na przykład funkcja w punkcie nie ma żadnej wartości (nie jest ciągła w tym punkcie), ponieważ po podstawieniu otrzymujemy . Z wykresu poniżej widać jednak, że wszystkie wartości wokół tego punktu zbliżają się do . Z tego powodu granicą funkcji w punkcie jest .

Znając definicję granicy funkcji oraz niedoskonałość metody przedstawionej na początku, można przystąpić do definicji pochodnej. Dla funkcji zapisuje się ją jako (notacja Lagrange’a), (notacja Leibniza), lub (notacja Eulera). Jej definicja brzmi: . Dzięki niej można obliczyć dokładną zmianę wartości funkcji w każdym punkcie, w którym można wyznaczyć granicę.
Niech . Podstawiając funkcję do wzoru, otrzymujemy:
.

Znając pochodną , można teraz porównać ją ze średnią zmianą np. wokół dla : . Również . Jest to więc trafne przybliżenie, jednak nie zawsze tak jest.
Odwrotnością różniczkowania jest całkowanie. Jego definicja to taka, że . Innymi słowy, całka z to funkcja, której pochodna to .
Rachunek całkowy i różniczkowy używany jest m.in.:
– w fizyce, np. do określenia odległości znając prędkość,
– w geometrii do obliczania pól i objętości figur oraz długości łuków,
– w medycynie do wyznaczania optymalnego ustawienia naczyń krwionośnych,
– w ekonomii do wyznaczania maksymalnego profitu.