Pochodna funkcji złożonej

Twierdzenie: [Różniczkowalność funkcji złożonej]
Niech y=f(x) – jest określona w otoczeniu punktu w którym jest ona różniczkowalna i niech x=g(t) określona w punkcie oraz która jest ciągła. Wówczas w otoczeniu punktu będzie określona funkcja złożona która będzie różniczkowalna oraz

Aby wyznaczyć pochodną funkcji złożonej określonej wzorem postępujemy według następujących zasad:

Krok 1: Określamy wzór funkcji i pochodną dla tej funkcji
Krok 2: Określamy wzór funkcji i pochodną dla tej funkcji
Krok 3: Wyznaczamy wzór funkcji oraz zapisujmy wzór pochodnej funkcji

Przykłady:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

[Uwaga w przykładach a, b, c, d zostaje wykorzystywana następująca własność: ]
Wyznacz pochodną funkcji h(x)
a)
Rozwiązanie:
Krok 1: Określamy wzór funkcji i pochodną dla tej funkcji :


Krok 2: Określamy wzór funkcji i pochodną dla tej funkcji :


Krok 3: Wyznaczamy wzór funkcji oraz zapisujmy wzór pochodnej funkcji :


b)
Rozwiązanie:
Krok 1:


Krok 2:


Krok 3:

c)
Rozwiązanie:
Krok 1:


Krok 2:


Krok 3:

d)
Rozwiązanie:
Krok 1:


Krok 2:


Krok 3:

[Uwaga w przykładach e, f zostaje wykorzystywana następujące własności: , ]

e)
Rozwiązanie:
Krok 1:


Krok 2:


Krok 3:

f)
Rozwiązanie:
Krok 1:


Krok 2:


Krok 3:

[Uwaga w przykładach g, h zostaje wykorzystywana następującą własność: (dla >0) ]

g)
Rozwiązanie:
Krok 1:


Krok 2:


Krok 3:

h)
Rozwiązanie:
Krok 1:


Krok 2:


Krok 3:

[Uwaga w przykładach i, j zostaje wykorzystywana następującą własność: dla > ]

i)
Rozwiązanie:
Krok 1:


Krok 2:


Krok 3:

Ćwiczenie 1.
Wyznacz pochodną funkcji
a)
b)
c)
d)
e)
Odpowiedź:
a)
b)
c)
d)
e)

Ćwiczenie 2:
Wyznacz pochodną funkcji gdzie to pewna stała
a) ( przykład do pracy samodzielnej )
b)
( przykład do pracy samodzielnej )

a) Odpowiedź:
c) Odpowiedź:

Rozwiązanie:
Ad. b)