Pochodna iloczynu funkcji

Mamy dane dwie funkcje f(x) oraz g(x).

Wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji:
[f(x) g(x)]’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

Przykład 1
Dane są funkcje f(x) = 2x2 oraz g(x) = 3x. Oblicz [f(x) g(x)]’.

Wykorzystamy wzór:
(xn)’ = nxn-1

[(2x2) (3x)]’ = (2x2)’ 3x + 2x2 (3x)’ = (2 2 x2-1) 3x + 2x2 3 = 4x 3x + 2x2 3 = 12x2 + 6x2 = 18x2

Przykład 2

Dane są funkcje f(x) = x3 oraz g(x) = cos(x).

Wykorzystamy wzór:
(cos(x))’ = -sin(x)

[(x3) (cosx)] = (x3)’ cos(x) + x3 (cos(x))’ = 3x2 cos(x) + x3 (-sin(x)) = -x3 sin(x) + 3x2 cos(x)

Przykład 3

Dane są funkcje f(x) = x4 oraz g(x) =

Wykorzystamy wzór:
=

[(x4) ()]’ = (x4)’ + x4 = 4x3 + x4 = 20x2 – 5x2 = 15x2

Ten przykład można też obliczyć w inny sposób.

x4
(5x3)’ = = 15x2
Zarówno wynik z pierwszego sposobu, jak i wynik z drugiego sposobu są sobie równe.

Wzór najlepiej wykorzystać, żeby policzyć pochodną iloczynu dwóch różnych funkcji.