Pochodna ilorazu

Pochodne obliczamy za pomocą powszechnie znanych wzorów na pochodne. Oprócz zwykłych wzorów na pochodne istnieją jeszcze wzoru na sumę, różnicę, iloczyn oraz iloraz funkcji. Jednym z ciekawych i bardzo przydatnych wzorów jest wzór na pochodną ilorazu. Wygląda on w następujący sposób:
() ’ =

Pokażę zastosowanie wzoru na pochodną ilorazu na przykładzie:
Obliczmy następującą pochodną’
Potrafimy obliczyć pochodną z sin(x) oraz pochodną z x3. Możemy zapisać, że oraz . Możemy zastosować wzór na pochodną ilorazu jeżeli te dwie funkcje, czyli f(x) oraz g(x) będą różniczkowalne.

Podstawiamy do wzoru:
’ = = =

Korzystamy również z własności potęg oraz wzorów na pochodne:

Rozważmy drugi przykład. Obliczmy pochodną ’.
Możemy zapisać, że f(x) = ln(x) oraz g(x) = x2. Z dwóch funkcji potrafimy obliczyć pochodne. Przy rozwiązywaniu tego zadania skorzystamy z następujących wzorów:
(ln(x))’
(xn)’=nxn-1
Przy czym warto wspomnieć czym jest ln. Ln jest to logarytm naturalny, czyli taki logarytm, gdzie podstawą tego logarytmu jest liczba e.
Możemy podstawić nasze funkcje do wzoru na pochodną ilorazu:
’= = =

Rozwiążmy kolejny przykład. Obliczymy pochodną ’.
Możemy zapisać pomocniczo:
f(x) = 3x + 5
g(x) = 5x + 2
Z dwóch funkcji da się policzyć pochodne, dlatego możemy skorzystać ze wzoru na pochodną ilorazu.
Podstawiamy funkcje do naszego wzoru:
=

Opanowanie wzoru na pochodną ilorazu jest możliwe, jeżeli dobrze opanujemy inne wzoru na pochodne. Nie jest możliwe, żeby nie znać podstawowych wzorów na pochodne, a posiadać umiejętność obliczania pochodnych za pomocą wzoru na pochodną ilorazu. Wzór jest łatwy do zapamiętania, ale w matematyce podstawą do nauki jest rozwiązywanie dużej liczby zadań. W rozwiązywaniu zadań z pochodnymi często potrzebne są inne działania oraz własności matematyczne.