Opracowanie:
Pochodna z pierwiastka
Pochodna z pierwiastka
Pochodna z pierwiastka
Wstęp:
Wiesz już co to jest pochodna funkcji. Z tego opracowania przypomnisz sobie jak się ją wyznacza (dla prostych funkcji), a także nauczysz się jak wyznaczyć pochodną z pierwiastka, czyli pochodną z f(x) = .
Wyznaczanie pochodnej („wzór ogólny”):
Niech nasza funkcja ma postać: f(x) = x n , gdzie „x” to argument funkcji, a „n” to wykładnik stojący przy x. Wówczas pochodna takiej funkcji będzie miała postać: f'(x) = n x n-1. Zauważmy co się stało. Gdy chcieliśmy wyznaczyć pochodną powyższej funkcji przepisaliśmy jej wykładnik „n” przed „x”, a sam wykładnik zmniejszył nam się o jeden. Przećwiczmy wyznaczanie pochodnej funkcji na poniższym przykładzie.
Przykład 1:
Wyznacz pochodną funkcji:
a) f(x) = x2
b) f(x) = 23
c) f(x) = 8x3
d) f(x) = 11x5 + 7x4 + 5x + 4
a) Mamy daną funkcję: f(x) = x2. Wykorzystując powyższy wzór obliczamy pochodną: Dwójkę (z wykładnika) przepisujemy przed x, a sam wykładnik zmniejsza nam się o 1, czyli nasza pochodna przybierze postać: f'(x) = 2 x2-1 = 2x1 = 2x.
b) Mamy daną funkcję: f(x) = 23. Zauważmy, że podana funkcja nie ma nigdzie w swoim zapisie „x”. Jest to tzw. funkcja stała, a pochodna takiej funkcji to po prostu 0, co zapisujemy: f'(x) = 0.
c) Mamy daną funkcję: f(x) = 8x3. Wyznaczamy pochodną: 3 z wykładnika wędruje nam przed x, a sam wykładnik zmniejsza nam się o 1, więc nasza pochodna przybierze postać: f'(x) = 8 3x3-1 = 24x2.
d) Mamy daną funkcję: f(x) = 11x5 + 7x4 + 5x + 4. Wyznaczając pochodną takiej funkcji wyznaczamy pochodne poszczególnych jednomianów (które „tworzą” tę funkcję), dodając je na koniec. Pochodna z 11x5 to 55x4, pochodna z 7x4 to 28x3, pochodna z 5x to 5, a pochodna z 4 to po prostu 0 (pochodna stałej). Więc nasza wyjściowa pochodna przybierze postać: f'(x) = 55x4 + 28x3 + 5 .
(Można to było także policzyć w ciągu: f'(x) = (11x5 + 7x4 + 5x + 4)’ = 11 5x5-1 + 7 4x4-1 + 5 1x1-1 + 0 = 55x4 + 28x3 + 5)
Pochodna :
Korzystając z poznanego wyżej wzoru wyznaczania pochodnej da się też obliczyć pochodną funkcji . Wystarczy tylko wiedzieć, że
= . A zatem pochodna z to:
f'(x) = ()’ = ()’ = = = = = = = = =
Po przekształceniach wiemy już, że pochodna z to . Powyższym sposobem można obliczyć pochodną każdej funkcji postaci:
f(x) = . Aby obliczyć pochodną takiej funkcji można też skorzystać ze wzoru: f'(x) = ( )’ = . Przećwiczmy ten wzór na poniższym przykładzie.
Przykład 2:
Wyznacz pochodną funkcji:
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) =
a) f(x) = , czyli f'(x) = = .
(lub (jak ktoś woli ze „wzoru ogólnego”): f'(x) = ( )’ = ()’ = = = )
b) f(x) = , czyli f'(x) = = .
c) f(x) = . Podobnie jak w „Przykładzie 1” (podpunkcie d) wyznaczamy pochodne poszczególnych jednomianów, a potem dodajemy je do siebie. A zatem nasza pochodna będzie miała postać: f'(x) = = .
Podsumowanie:
W tym opracowaniu powtórzyłeś sobie wyznaczenie pochodnej funkcji. Poznałeś też pochodną funkcji f(x) = , która wynosi f'(x) = . Dowiedziałeś się także jaki jest wzór na pochodną funkcji o postaci: f(x) = oraz przećwiczyłeś jego użycie.