Pochodne funkcji

Aby wyznaczyć jak zmienia się wartość funkcji , gdy argument zmienia się o daną wartość korzystamy z ilorazu różnicowego funkcji. Wynosi on:

Pochodna funkcji to granica ilorazu różnicowego gdy dąży do zera. Pochodną funkcji oznaczamy jako . Pochodna mówi nam jak szybko zmienia się wartość funkcji w danym punkcie.

Uwaga! zapisujemy bezpośrednio pod , jednak nie pozwala na to kreator równań, więc w tym opracowaniu będę zapisywał w indeksie dolnym.

Jeśli taka granica istnieje, to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie . Jeśli w każdym punkcie danego przedziału funkcja jest różniczkowalna, to możemy ustalić pochodną funkcjonującą na całym tym przedziale.

Pochodną możemy sobie zwizualizować na wykresie funkcji. Jeśli narysujemy styczną do wykresu funkcji f przecinającą oś OX pod kątem , to pochodna funkcji będzie określać tangens kąta .

Przykład:
Obliczmy pochodną funkcji .

Nie mając już w mianowniku możemy sprowadzić je do zera.

Więc pochodną z funkcji na przedziale jest .

Korzystając z pochodnej, możemy stwierdzić czy funkcja jest ciągła w danym punkcie. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, to jest również ciągła w tym punkcie.

Pochodne wybranych funkcji (dziedziną pochodnej jest , chyba że zostało zaznaczone inaczej):
Pochodna funkcji stałej

Pochodna funkcji liniowej

Pochodna funkcji

Uwaga! Jeśli jest liczbą niewymierną, to dziedziną pochodnej są liczby rzeczywiste dodatnie.

Pochodna funkcji

Uwaga!

Pochodna funkcji

Aby wyznaczyć pochodną funkcji nie musimy obliczać granicy z ilorazy różnicowego funkcji. Możemy skorzystać z obliczonych już pochodnych oraz właściwości pochodnych:
Rozłączność pochodnej sumy funkcji:

Rozłączność pochodnej różnicy funkcji:

Rozkład pochodnej iloczynu funkcji:

Rozkład pochodnej ilorazu funkcji:

Oczywiście we wszystkich tych przykładach zarówno , jak i , muszą być różniczkowalne.