Pochodne funkcji trygonometrycznych

1. Czym są pochodne funkcji trygonometrycznych?

Pochodna funkcji mówi nam o tempie (szybkości), w jakiej zmienia się wartość tej funkcji względem zmiany jej argumentów.

Każda z funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens i cotangens) ma swoją funkcję pochodną we wszystkich punktach określonej dziedziny.

Funkcję pochodną od funkcji oznaczamy jako .

2. Pochodna funkcji sinus.

Znamy wzór funkcji sinus:

Jej pochodna ma wzór:



Jej dziedziną jest dziedzina funkcji sinus, czyli zbiór liczb rzeczywistych. .

Spróbujmy dla przykładu obliczyć pochodne funkcji sinus dla kilku argumentów:

Łatwe, prawda?

3. Pochodna funkcji cosinus.

Przejdźmy teraz do funkcji cosinus. Jej wzór wygląda tak:

Natomiast wzór jej pochodnej:

Zwróćmy uwagę, że tu przed funkcją mamy minus. Nie możemy o nim zapomnieć!

Dziedziną, jak poprzednio, jest .

Sprawdźmy kilka przykładów:

3. Pochodna funkcji tangens.

Wzór funkcji tangens to oczywiście:

Jej pochodna wygląda natomiast tak:

Ze zbioru liczb rzeczywistych musimy wyrzucić wszystkie argumenty, dla których . Dziedzina jest więc równa dziedzinie funkcji tangens, czyli

Zobaczmy przykłady:

4. Pochodna funkcji cotangens.

Ostatnia z funkcji trygonometrycznych, jak wiemy, ma wzór:

Jej pochodna wygląda tak:

Tutaj również nie zapominajmy o minusie!

Ze zbioru liczb rzeczywistych wyrzucamy argumenty, dla których . Dziedzina pochodnej jest więc równa dziedzinie funkcji cotangens, czyli:

Przepatrzmy przykłady:

Podsumowując, funkcje trygonometryczne również mają swoje funkcje pochodne. Ich wzory znajdziemy w tablicach maturalnych, choć dobrze umieć je na pamięć.