Pochodne funkcji złożonych

Pochodne funkcji złożonych

Przyjmijmy, że nasza funkcja złożona ma postać: f(g(x)). Wówczas pochodna takiej funkcji złożonej wyrażać się będzie wzorem:
(f(g(x)))’ = f'(g(x)) g'(x).
Aby lepiej zobrazować sobie ten wzór, podstawmy pod f(x) oraz g(x) jakieś konkretne wzory funkcji. Niech f(x) = x2 oraz g(x) = (3x+2). Wtedy nasza funkcja złożona będzie miała postać: f(g(x)) = (3x+2)2. Liczymy pochodną tej funkcji:
(f(g(x)))’ = ((3x+2)2)’ = (2 (3x+2)2-1) (3x+2)’ = (2 (3x+2)1) (3 1x1-1 + 0) = 2 (3x+2) 3 = 6 (3x + 2) = 18x + 12. A zatem obliczona pochodna funkcji złożonej (3x+2)2 wynosi (18x + 12).
Przećwiczmy teraz obliczanie pochodnych funkcji złożonych:

Przykłady:
Oblicz pochodną funkcji o wzorze:
a) f(x) = (6x2 + 5x)3
b) f(x) =

a) Mamy podaną funkcję określoną wzorem: f(x) = (6x2 + 5x)3. Obliczamy jej pochodną korzystając z poznanego wzoru:
f'(x) = ((6x2 + 5x)3)’ = 3 (6x2 + 5x)3-1 (6x2 + 5x)’ = 3 (6x2 + 5x)2 (2 6x + 5) = 3 (36x4 + 60x3 + 25x2) (12x + 5) =
= (36x4 + 60x3 + 25x2) (36x + 15) = 1296x5 + 540x4 + 2160x4 + 900x3 + 900x3 + 375x2 = 1296x5 + 2700x4 + 1800x3 + 375x2

b) Obliczamy pochodną funkcji f(x) = : f'(x) = ( )’ = = = .

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jak liczyć pochodną funkcji złożonej i przećwiczyłeś nowo poznaną umiejętność na kilku przykładach.