Pole koła

Pole koła

Wstęp:
W tym opracowaniu przypomnisz sobie podstawowe pojęcia związane z kołem. Dowiesz się co to jest pole koła oraz w jaki sposób można je obliczyć. Następnie przećwiczysz obliczanie pola koła na wielu przykładach (zarówno tych łatwiejszych, jak i trudniejszych).

Definicja Koła:
Koło (jako obiekt matematyczny) definiowany jest jako zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od środka koła nie jest większa niż długość promienia tego koła.

Pole, obwód, promień, cięciwa i średnica koła:

Pole koła tworzą wszystkie punkty (na płaszczyźnie), których odległość od środka koła jest mniejsza, bądź równa promieniowi tego koła.
Obwód koła to zbiór wszystkich punktów (na płaszczyźnie), których odległość od środka koła jest równa promieniowi tego koła.
Promień koła to odcinek poprowadzony od środka tego koła do jego „brzegu” (punktu znajdującego się na obwodzie tego koła). Oznaczany jest literą „r”.
Cięciwa to odcinek łączący 2 dowolne punkty leżące na obwodzie koła. Najdłuższa cięciwa nazywana jest średnicą.
Średnica jest to odcinek łączący 2 (najbardziej oddalone od siebie) punkty leżące na obwodzie koła. Średnica przechodzi przez środek koła oraz jest dwukrotnie dłuższa od promienia. Oznaczana jest literą „d”. Dla ułatwienia powyższe pojęcia i zależności zostały przedstawione na rysunku obok.

Pole koła – wzór:
Nadszedł czas na poznanie wzoru na pole koła. Jest on niezwykle prosty i ma następującą postać:
P = πr2
Gdzie: „P” oznacza pole koła, „r” to promień koła, a „π” (czytamy „pi”) to liczba niewymierna (π3,14), wyrażająca stosunek obwodu koła do jego średnicy (stosunek ten jest stały i jednakowy dla każdego koła)
A zatem wzór na pole koła to iloczyn kwadratu promienia i liczby pi: P = πr2
Przećwiczmy teraz obliczanie pola koła na poniższych przykładach:

Przykład 1:
Oblicz pole koła, jeśli jego promień wynosi:
a) 3 cm
b) 11 cm
c) 2,5 cm
d) 4 cm

a) Mamy podaną długość promienia koła, wynosi ona 3 cm. Żeby obliczyć pole tego koła korzystamy z poznanego wyżej wzoru (podkładając za „r” 3 cm):
P = πr2 = π (3 cm)2 = π 9 cm2 = 9π cm2 (Zawsze pamiętamy o odpowiedniej jednostce na końcu wyniku)
A zatem pole tego koła jest równe 9π cm2.

(Taki wynik uznaje się za ostateczny, gdyż liczba pi jest liczbą niewymierną, czyli nie da się jej „ładnie” rozpisać. Możemy jednak podać przybliżoną wartość pi ( 3,14) i wtedy obliczyć przybliżoną wartość pola koła. Robimy to jednak tylko wtedy, gdy jasno mówi nam o tym polecenie np. gdyby pisało jeszcze „przyjmij, że π 3,14″ to pole wynosiłoby wtedy: P = πr2 3,14 (3 cm)2 = 3,14 9 cm2 = 28,26 cm2)

b) Mamy daną długość promienia koła: 11 cm. Korzystamy z poznanego wzoru (podkładając za „r” 11 cm):
P = πr2 = π (11 cm)2 = π 121 cm2 = 121π cm2
A zatem pole tego koła jest równe 121π cm2.

c) Mamy podaną długość promienia: 2,5 cm. Korzystamy ze wzoru na pole koła (podkładając za „r” 2,5 cm):
P = πr2 = π (2,5 cm)2 = π 6,25 cm2 = 6,25π cm2
A zatem pole tego koła jest równe 6,25π cm2.

d) Podany mamy promień koła, który wynosi 4 cm. Obliczamy pole tego koła (podkładając za „r” 4 cm):
P = πr2 = π (4 cm)2 = (π 16 2) cm2 = 32π cm2
A zatem pole tego koła jest równe 32π cm2.

Przykład 2:
Oblicz pole koła, jeśli jego średnica wynosi:
a) 6 cm
b) 15 cm
c) 4 cm
d) 7 cm

a) Mamy podaną długość średnicy koła, która wynosi 6 cm. Żeby obliczyć pole koła potrzebujemy wiedzieć jaką długość ma jego promień. Ponadto wiemy, że w każdym kole średnica jest dwa razy dłuższa od promienia koła, czyli: 2r = d. Skoro d = 6 cm to w tym przykładzie: 2r = 6 cm. Rozwiązujemy te proste równanie (dzieląc obustronnie przez 2) i wychodzi nam że r = 3 cm. Mając już podany promień możemy obliczyć pole koła korzystając ze wzoru P = πr2:
P = πr2 = π (3 cm)2 = π 9 cm2 = 9π cm2.
A zatem pole tego koła jest równe 9π cm2.

b) Mamy daną długość średnicy koła, która wynosi 15 cm. Korzystamy z tego, że średnica jest dwa razy dłuższa od promienia (2r = d) i obliczamy promień (podstawiając za „d” 15 cm):
2r = d
2r = 15 cm (dzielimy obustronnie przez dwa)
r = 7,5 cm
Mając obliczony promień liczymy pole koła:
P = πr2 = π (7,5 cm)2 = π 56,25 cm2 = 56,25π cm2.
A zatem pole tego koła jest równe 56,25π cm2.

c) Długość średnicy wynosi 4 cm. Analogicznie jak w powyższych przykładach obliczmy najpierw promień:
2r = d (podstawiamy za „d” 4 cm)
2r = 4 cm (dzielimy obustronnie przez dwa)
r = 2 cm
Mając obliczony promień obliczamy pole koła:
P = πr2 = π (2 cm)2 = (π 4 3) cm2 = 12π cm2.
A zatem pole tego koła jest równe 12π cm2.

d) Długość średnicy wynosi 7 cm. Obliczamy promień tego koła:
2r = d (podstawiamy za „d” 7 cm)
2r = 7 cm (dzielimy obustronnie przez dwa)
r = 3,5 cm
Mając obliczony promień obliczamy pole koła:
P = πr2 = π (3,5 cm)2 = (π 12,25 5) cm2 = 61,25π cm2.
A zatem pole tego koła jest równe 61,25π cm2.

Przykład 3:
Oblicz promień oraz średnicę koła, jeśli jego pole wynosi:
a) 16π cm2
b) 75π cm2
c) 9 cm2

a) Mamy podane pole koła, które wynosi 16π cm2. Znamy także wzór na pole koła (P = πr2). Przekształcając wzór na pole koła (dzieląc obustronnie przez π, a następnie pierwiastkując obie strony równania) otrzymamy wzór na promień koła: (Zał. P > 0 (ponieważ pole nie może być ujemne) oraz r > 0 (gdyż „r” wyraża długość promienia, a długość również nie może być ujemna))
Wyprowadziwszy wzór możemy teraz bez problemu obliczyć promień:
r = = = = 4 cm
Wiedząc ile wynosi promień możemy teraz obliczyć średnicę, korzystając z tego, że średnica jest dwa razy dłuższa niż promień (czyli 2r = d):
2r = d (za „r” podkładamy obliczone wyżej 4 cm)
2 4 cm = d (wymnażamy lewą stronę równania)
8 cm = d
d = 8 cm (czyli średnica ma długość równą 8 cm)
Odp: W podanym kole średnica ma długość 8 cm, a promień 4 cm.

b) Mamy podany obwód koła, który wynosi 75π cm2. Korzystając z wyprowadzonego w podpunkcie a) wzoru (r = ) obliczamy promień tego koła:
r = = = = 5 cm
Poznawszy już promień możemy obliczyć średnicę (2r = d):
2r = d (za „r” podkładamy obliczone wyżej 5 cm)
2 = d (wymnażamy lewą stronę równania)
10 cm = d
d = 10 cm (czyli średnica ma długość równą 10 cm)
Odp: W podanym kole średnica ma długość 10 cm, a promień 5 cm.

c) Podane pole koła wynosi 9 cm2. Korzystamy ze wzoru (wyprowadzonego w podpunkcie a)) i obliczamy promień tego koła:
r = = = = = cm
Znając już promień możemy obliczyć średnicę (2r = d):
2r = d (za „r” podkładamy obliczone wyżej cm)
2 cm = d (wymnażamy lewą stronę równania)
cm = d
d = cm (czyli średnica ma długość równą cm)
Odp: W podanym kole średnica ma długość cm, a promień cm.

Przykład 4:
W pewnym kole promień jest o 7 cm krótszy od średnicy. Oblicz pole tego koła.

Wiemy, że w podanym kole promień jest o 7 cm krótszy od średnicy, czyli: r + 7 cm = d. Wiemy także, że w każdym kole średnica jest dwa razy dłuższa od promienia, czyli: 2r = d. Skoro d = r + 7 cm i równocześnie d = 2r to także (po „połączeniu” obu tych równań):
r + 7 cm = 2r. Powstało nam proste równanie z jedną niewiadomą jaką jest „r”. Przystępujemy do jego rozwiązywania:
r + 7 cm = 2r (odejmujemy obustronnie „r”)
7 cm = 2r – r
7 cm = r
r = 7 cm
Wiedząc ile wynosi promień możemy się teraz zabrać za obliczanie pola koła:
P = πr2 = π (7 cm)2 = π 49 cm2 = 49π cm2.
A zatem pole naszego koła wynosi 49π cm2.

Przykład 5:
Na kwadracie o boku 30 cm opisano koło. Oblicz pole tego koła.

Aby lepiej zobrazować sobie powyższą sytuację oraz aby dostrzec pewne zależności wykonujemy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że średnica naszego koła jest równocześnie przekątną kwadratu wpisanego w te koło. A przekątną możemy policzyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
(30 cm)2 + (30 cm)2 = d2 (wykonujemy potęgowanie po lewej stronie równania)
900 cm2 + 900 cm2 = d2 (dodajemy wartości po lewej stronie)
1800 cm2 = d2 (Zał. d > 0, gdyż „d” wyraża długość, czyli nie może być ujemne)
d = = 30 cm (i jest to długość zarówno przekątnej kwadratu jak i średnicy koła)
Mając podaną długość średnicy koła możemy teraz obliczyć promień tego koła (2r = d):

2r = d (za „d” podkładamy obliczone wyżej 30 cm)
2r = 30 cm (dzielimy obustronnie przez 2)
r = 15 cm
Mając podany promień możemy teraz obliczyć pole koła:
P = πr2 = π (15 cm)2 = (π 225 2) cm2 = 450π cm2.
A zatem pole naszego koła wynosi 450π cm2.

Przykład 6:
W pewnym kole środek cięciwy AB oddalony jest od środka koła o 5 cm. Oblicz pole tego koła, wiedząc że cięciwa AB ma długość równą 24 cm.

Aby lepiej zobrazować sobie sytuację opisaną powyżej oraz aby lepiej dostrzec pewne zależności wykonujemy rysunek pomocniczy:

Gdzie:
„S” to środek cięciwy AB
„O” to środek koła
Czerwony odcinek to cięciwa AB
Niebieski odcinek to odległość (środka) cięciwy od środka okręgu
Skoro „S” jest środkiem cięciwy AB to punkt ten dzieli tę cięciwę na dwa odcinki równej długości po 12 cm każdy (24 cm : 2 = 12 cm). „Zaktualizujmy” teraz nasz rysunek dorysowując wewnątrz koła promień „r”, tak aby jeden z jego końców „stykał się” z końcem cięciwy AB:

Po dorysowaniu w odpowiednim miejscu promienia możemy dostrzec trójkąt (SOB), który jest trójkątem prostokątnym. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości 5 cm oraz 12 cm. Natomiast przeciwprostokątna tego trójkąta jest równocześnie promieniem koła. Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta SOB (tym samym długość promienia koła „r”) korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
(5 cm)2 + (12 cm)2 = r2 (Zał. r > 0, gdyż „r” wyraża długość, a ona nie może być ujemna)
Po ustalonych założeniach oraz ułożeniu odpowiedniego równania przystępujemy do jego rozwiązywania:

(5 cm)2 + (12 cm)2 = r2 (wykonujemy potęgowanie po lewej stronie równania)
25 cm2 + 144 cm2 = r2 (dodajemy wartości po lewej stronie)
169 cm2 = r2 (piszemy rozwiązania, pamiętając o wykluczeniu tych, które są sprzeczne z założeniami)
r = 13 r = (-13)
Ale r = (-13) odrzucamy, gdyż jest sprzeczne z założeniem r > 0.
W takim razie promień naszego koła wynosi 13 cm. Teraz mając podany promień możemy wreszcie policzyć pole koła:
P = πr2 = π (13 cm)2 = π 169 cm2 = 169π cm2.
A zatem pole naszego koła wynosi 169π cm2.

Przykład 7:
Pewien trójkąt prostokątny wpisano w koło. Suma długości przyprostokątnych tego trójkąta wynosi 34 cm, z czego jedna przyprostokątna jest o 14 cm krótsza od drugiej. Oblicz pole koła wiedząc, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego zawiera się całkowicie w średnicy tego koła.

Aby lepiej zobrazować sobie powyższą sytuację wykonujemy rysunek pomocniczy:

Gdzie:
„O” to środek koła
Czerwony odcinek to przeciwprostokątna trójkąta ABC (średnica koła „d”)
Niebieski odcinek to krótsza przyprostokątna (a „x – 14” to jej długość wyrażona w centymetrach)
Zielony odcinek to dłuższa przyprostokątna (a „x ” to jej długość wyrażona w centymetrach)
Suma długości przyprostokątnych tego trójkąta wynosi 34 cm, co możemy zapisać za pomocą równania:
(x – 14) cm + x cm = 34 cm. Rozwiązując te równanie poznamy długości przyprostokątnych trójkąta:

(x – 14 cm) + x = 34 cm (upraszczamy lewą stronę równania)
x – 14 cm + x = 34 cm
2x – 14 cm = 34 cm (dodajemy obustronnie 14 cm)
2x = 48 cm (dzielimy obustronnie przez 2)
x = 24 cm
A zatem dłuższa przyprostokątna ma długość 24 cm, a krótsza ma długość równą 10 cm (bo jest o 14 cm krótsza, czyli 24 cm – 14cm = 10 cm). Znając długości przyprostokątnych trójkąta możemy policzyć długość jego przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
(10 cm)2 + (24 cm)2 = d2 (wykonujemy potęgowanie po lewej stronie równania)
100 cm2 + 576 cm2 = d2 (dodajemy wartości po lewej stronie)
676 cm2 = d2 (Zarówno liczba 26 jak i liczba (-26) podniesione do kwadratu dadzą nam 676, ale wynik d = (-26) musimy odrzucić, gdyż „d” wyraża długość, czyli nie może być ujemne (Zał. d > 0))
A zatem d = 26 cm i jest to nie tylko długość przeciwprostokątnej, ale także średnicy koła. Mając podaną średnicę koła możemy teraz obliczyć długość promienia koła (2r = d):
2r = d (za „d” podkładamy obliczone wyżej 26 cm)
2r = 26 cm (dzielimy obustronnie przez 2)
r = 13 cm
Mając podany promień możemy teraz bez problemu obliczyć pole koła:
P = πr2 = π (13 cm)2 = π 169 cm2 = 169π cm2.
A zatem pole naszego koła wynosi 169π cm2.

Podsumowanie:
Z tego opracowania przypomniałeś sobie podstawowe pojęcia związane z kołem. Dowiedziałeś się co to jest pole koła oraz w jaki sposób można je obliczyć. Przećwiczyłeś także obliczanie pola koła na wielu różnych przykładach.