Pole koła wzór

Dzisiaj zajmiemy się zagadnieniem związanym z polem koła. Na wstępnie wyjaśnijmy sobie różnice między okręgiem a kołem. Jak widzisz na grafice poniżej, okrąg to nic innego jak zaznaczony środek oraz jego „kontur”. Okrąg nie jest wypełniony. Koło zaś jest wypełnione, dlatego też możemy policzyć jego pole. Innymi słowy, na koło składają się wszystkie punkty na płaszczyźnie określone przez „kontur” koła. Odległość tych punktów musi być mniejsza bądź też równa długości promienia naszego koła.

Skoro już mowa o polu koła, to pokażmy od razu sobie ten wzór.

Pole koła jest więc iloczynem liczby pi oraz podniesionej do kwadratu długości promienia.

Ponadto w zadaniach z tego zagadnienia bardzo pomocny jest wzór na obwód okręgu, a więc także na długość okręgu. Ten wzór wyraża się wzorem:

Innymi słowy jest to podwojony iloczyn pi oraz długości promienia.

Skoro znamy potrzebne nam wzory to możemy przejść do rozwiązywania zadań.

zadanie 1
Wylicz pole koła, którego długość promienia wynosi 4dm.

Aby rozwiązać takie prostsze zadanie wystarczy wypisać dane, a następnie podstawić je do wzoru. Szczególną uwagę należy zwrócić podczas obliczeń pola koła. Często popełnianym błędem jest zapomnienie o podniesieniu do kwadratu długości promienia.

r = 4dm

Odpowiedź: Pole tego koła wynosi .

zadanie 2
Janek obliczył, że obwód poniższego znaku wynosi cm. Zastanawia się, ile potrzebowałby centymetrów kwadratowych blachy, aby starczyło mu na wykonanie takiego znaku z tatą. Oblicz potrzebną powierzchnię blachy.

Rozwiązanie:

Skoro znamy obwód takiego znaku to bez problemu możemy przekształcić ten wzór w taki sposób, aby otrzymać długość promienia. Ten promień umożliwi nam obliczenie pola powierzchni blachy potrzebnej do zrobienia tego znaku.

dane:
cm

zapisujemy wzór na obwód koła

podstawiamy dane do wzoru oraz obustronnie dzielimy przez 2 pi

Otrzymaną wartość podstawiamy do wzoru na pole koła.

zapisujemy wzór na pole koła

podstawiamy wcześniej otrzymaną długość promienia

zapisujemy wynik, lecz w tym wypadku pytają nas o powierzchnię blachy, dlatego powinniśmy podstawić do tego wyniku pi, aby podać wynik w przybliżeniu

Odpowiedź: Aby wykonać taki znak, Janek potrzebuje blachy.

zadanie 3
Zostało opisane koło o polu na trójkącie prostokątnym. Zobacz rysunek poniżej. Oblicz oraz podaj ile wynosi suma kwadratów długości przyprostokątnych narysowanego trójkąta.

Dla przypomnienia na wstępie należy zaznaczyć, że środek koła jest równoznaczny z tym, że dzieli on przeciwprostokątną trójkąta na dwie takie same części. Innymi słowy środek tego koła to także środek przeciwprostokątnej trójkąta. Skoro to wiemy, to podpisujemy prawidłowo długości boków. Zauważamy, że połowę długości przeciwprostokątnej stanowi długość promienia koła. Tym samym możemy zauważyć, że jeśli przekształcimy wzór na pole koła, to będziemy mogli otrzymać długość naszego promienia.

Ponadto ustalamy, czego jak w zasadzie szukamy. Suma kwadratów przyprostokątnych trójkąta… Czy z czymś Ci się to kojarzy? Zauważ, że sumę kwadratów przyprostokątnych mamy w twierdzeniu Pitagorasa. Przejdźmy w takim razie do rozwiązania zadania.

Dane:

c = 2r – przeciwprostokątna
a, b – przyprostokątne

Założenia:

r > 0

Rozwiązanie:

Obustronnie dzielimy przez pi

Pierwiastkujemy stronami pamiętając, że ujemny wynik będziemy odrzucać ze względu na nasze założenia.

W takim razie zauważamy, że długość naszej przeciwprostokątnej to długość dwóch promieni, a więc:

Skoro wiemy, że mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, to bez problemu możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa.

Odpowiedź: Suma kwadratów długości przyprostokątnych tego trójkąta wynosi 9.

zadanie 4
Oblicz pole poniższego pierścienia zaznaczonego na niebiesko wiedząc, że promień mniejszego z kół wynosi 11, a większego 17.

Aby rozwiązać takie zadanie wystarczy obliczyć pole większego koła. Następnie należy obliczyć pole mniejszego koła. Na samym końcu odejmujemy od siebie te dwa wyniki otrzymując pole pierścienia.

Dane:

Szukane:
?

Rozwiązanie:

Odpowiedź: Pole pierścienia wynosi .

Jak widzisz, zadania z polem koła nie muszą być monotonne. Pokazałam ci cztery zadania, każde o różnym stopniu trudności. Mam nadzieję, że teraz już wiesz jak poprawnie rozwiązywać zadania związane z polem koła.