Pole kuli

W szkołach średnich przed maturą poznajemy dział stereometrii, czyli geometrię przestrzenną. Wprowadzane zostają wzory na pola, objętości oraz inne własności graniastosłupów, ostrosłupów, stożków, walców czy wspomnianej w tytule kuli. Warto zwrócić uwagę na te zagadnienia, ponieważ bardzo często pojawiają się one na maturze. Zazwyczaj są to banalne zadania, które rozwiążemy przy pomocy jednego wzoru.

Na początku zacznę od tego, czym jest kula. Kula to bryła obrotowa, która powstaje przy pomocy obrotu obrotu koła wokół średnicy. Przedstawię to na rysunku:

W wyniku takiego obrotu otrzymujemy kulę o takim samym promieniu.

Powierzchnia kuli to sfera.
Kula to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka kuli (na rysunku oznaczony kolorem zielonym i literą S) jest mniejsza lub równa promieniowi kuli.
Sfera to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka kuli jest równa promieniowi kuli.

Wzór na pole powierzchni kuli:

gdzie r to promień kuli.

Zadanie 1
Oblicz pole kuli, której promień ma długość 10 cm.

Odpowiedź: Pole kuli, której promień ma długość 10cm wynosi 400πcm2.

Należy pamiętać, że pole powierzchni wyrażamy za pomocą jednostek kwadratowych.
Przykładowo mogą być to metry kwadratowe, centymetry kwadratowe, decymetry kwadratowe, milimetry kwadratowe. Jeżeli w zadaniu mamy podaną jednostkę nie zależy o niej zapominać. Jeżeli nie ma jednostki, to można dopisać j2, czyli jednostki kwadratowe.

Zadanie 2
Oblicz promień kuli, która ma pole powierzchni równe 628 centymetrów kwadratowych. Przyjmij, że pi to 3,14.

W takich zadaniach zawsze należy podstawić znane dane do wzoru, a następnie wyliczać za pomocą niego niewiadomą.
Zapisujemy wzór na pole kuli.

Wiemy, że pole P jest równe 628 cm2. Wiemy, że jako pi musimy przyjąć zaokrąglenie: 3,14. Podstawiamy te dane do wzoru na pole powierzchni kuli:




Wyniki nie zawsze muszą wychodzić „ładne”. Czasami możemy uzyskać dziwne wyniki z ułamkami lub pierwiastkami. Nie znaczy, że rozwiązanie jest złe!
Nie można obliczyć dokładnej wartości promienia, ale możemy obliczyć zaokrągloną wartość.
cm
Przypominam, że jest to zaokrąglona wartość. Jeżeli w zadaniu nie ma napisane, że powinniśmy obliczyć zaokrągloną wartość, to wynik zostawiamy w postaci dokładnej.

Możemy sprawdzić nasz wynik oraz zobaczyć, czy bardzo różni się od dokładnego:

Jak widzimy, wyniki różnią się o kilkanaście centymetrów kwadratowych.

Zadanie 3
Oblicz pole kuli, której promień ma długość 8.

W tym przypadku nie mamy podanych jednostek w zadaniu, więc w domyśle będą to jednostki kwadratowe.

Zadanie 4
Oblicz pole kuli, której średnica ma długość 6.

W tym przypadku mamy podaną średnicę, więc najpierw obliczamy promień. Średnica to 2r. Dlatego wiemy, że promień jest równy 3.




Należy zwracać uwagę na dane, które są nam podane w zadaniu. Dokładne czytanie poleceń jest podstawą!