Pole kwadratu z przekątnej

Kwadrat– jest to czworokąt o wszystkich bokach równej miary (przystających) i o wszystkich kątach prostych- czyli o mierze 90° (przystających) . Co znaczy, że jest on figurą foremną.

Przekątna kwadratu nazywamy odcinek łączący przeciwległe do siebie punkty (nie należące do tych samych boków). Każdy kwadrat ma dwie przekątne przecinające się pod kątem prostym (90°). Dzielą one kwadrat na cztery przystające do siebie trójkąty prostokątne.
Dla przykładu:
Przekątnymi kwadratu ABCD jest odcinek AC i BD, co można zauważyć na poniższym rysunku.

Boki, które są równoległe względem siebie:
AB || CD
AD || BC
Przekątne są prostopadłe:
AC ⟂ BD
Przekątne są równej długości
|AC|= |BD|
I dzielą się na połowy:
|AS|= |BS|= |CS|= |DS|

Długość przekątnej kwadratu możemy obliczyć za pomocą Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym, który powstał poprzez podzielenie kwadratu na pół wzdłuż przekątnej:
a2+ a2= d2
a- długość boku kwadratu;
d- długość przekątnej tego kwadratu.
Wzór ten możemy uprościć
2a2= d2 /√ (pierwiastkujemy obustronnie)
√2a= d
d= a√2

Ćwiczenie 1.
Oblicz długość przekątnej w kwadracie:
a) o boku długości a= 10 cm
b) o obwodzie długości Obw= 20 cm
c) o polu P= 36 cm2

a) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
a= 10 cm
Wypisujemy szukane:
d= ?
Podstawiamy dane do wzoru na długość przekątnej:
d= a√2
d= 10√2 cm

Odpowiedź: Długość przekątnej w kwadracie o boku długości a= 10 cm wynosi d=10√2 cm.

b) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
Obw= 20 cm
Wypisujemy szukane:
d=?
Aby obliczyć długość przekątnej kwadratu należy znać długość boku tego kwadratu. Długość obwodu jest czterokrotnie większa od długości boku- a:
Obw= 4a
Podstawiamy dane:
20 cm= 4a /:4
5 cm= a
a= 5 cm
Gdy znana jest długość boku możemy obliczyć długość przekątnej kwadratu:
d= a√2
d= 5√2 cm

Odpowiedź: Długość przekątnej w kwadracie o obwodzie Obw= 20 cm wynosi d= 5√2 cm.

c) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
P= 36 cm2
Wypisujemy szukane:
d=?
Aby obliczyć długość przekątnej kwadratu należy znać długość boku tego kwadratu. Długość tą możemy obliczyć podstawiając dane pole- P pod wzór na pole kwadratu:
P= a* a
36 cm2= a2
a= 6 cm lub a= -6 cm (ale wartość długości boku nie może być liczbą ujemną)
a= 6 cm
Gdy znana jest długość boku możemy obliczyć przekątną- d tego kwadratu korzystając ze wzoru:
d= a√2
d= 6√2 cm

Odpowiedź: Długość przekątnej w kwadracie o polu P= 36 cm2 wynosi d= 6√2 cm.

Jak możemy zauważyć w powyższym przykładzie c) pole kwadratu jest to kwadrat liczby stojącej obok pierwiastka z dwóch:
d= a√2= 6√2
P= a2= 36
Aczkolwiek przekątna nie zawsze występuje w postaci a√2, wtedy używamy wzoru na pole kwadratu z wykorzystaniem przekątnych:
P= d2/2
d- długość przekątnej
P- pole kwadratu o przekątnej długości d

Dowód na wzór pola kwadratu o przekątnej długości d:
Wyznaczamy długość boku a ze wzoru na przekątną kwadratu:
d= a√2 /: √2
d/√2= a
a= d/√2
Podstawiamy liczbę a pod wzór na pole kwadratu:
P= a2
P= (d/√2)2
P= d2/√2*√2
P= d2/2
Otrzymujemy dowodzony wzór, co kończy dowód.

Ćwiczenie 2.
Oblicz:
a) pole kwadratu o przekątnej d= 2 cm;
b) długość przekątnej kwadratu o polu P= 18 cm2.
c) oblicz pole kwadratu wpisanego w okrąg o średnicy- e= 20 cm.

a) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
d= 2 cm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Korzystamy ze wzoru P= d2/2.
P= (2 cm)2/2
P= 4 cm2/2
P= 2 cm2
Odpowiedź: Pole kwadratu o przekątnej d= 2 cm wynosi P= 2 cm2.

b) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
P= 18 cm2
Wypisujemy szukane:
d= ?
Korzystamy ze wzoru P= d2/2:
18 cm2= d2/2 /*2
36 cm2= d2
d= 6 cm lub d= -6 cm (ale długość nie może być wartością ujemną)
d= 6 cm
Odpowiedź: Długość przekątnej wynosi d= 6 cm.

c) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
e= 20 cm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Aby rozwiązać to zadanie trzeba wiedzieć, że średnica okręgu opisanego na kwadracie jest także przekątną kwadratu, więc:
d= e
d= 20 cm
Używamy wzoru na pole kwadratu ze średnicy:
P= d2/2.
P= (20cm)2/2
P= 400 cm2/ 2
P= 200 cm2
Odpowiedź: Pole kwadratu wpisanego w okrąg o średnicy e= 20 cm wynosi P= 200 cm2.