Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

POLE POWIERZCHNI CAŁKOWITEJ GRANIASTOSŁUPA

Czym jest graniastosłup?
Jest to przestrzenna figura geometryczna, której wierzchołki leżą w dwóch równoległych płaszczyznach, a wszystkie krawędzie leżące poza tymi płaszczyznami są do siebie równoległe. Podstawą każdego graniastosłupa jest są 2 n-kąty, czyli płaskie figury geometryczne o danej liczbie kątów. Na tej podstawie możemy określić liczbę ścian za pomocą wzoru n + 2, liczbę wierzchołków – 2n oraz liczbę krawędzi – 3n.

Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

2Pp – pole powierzchni obu podstaw graniastosłupa
Pb – pole powierzchni wszystkich ścian bocznych
Aby łatwiej było nam policzyć pole powierzchni całkowitej danego graniastosłupa możemy narysować sobie pomocniczo siatkę tej figury zaznaczając długość każdej krawędzi dla ułatwienia. Czasami może zdarzyć się, że siatka będzie pokazana już w zadaniu.

Przykładowe zadanie 1:
Dany jest graniastosłup o długości krawędzi bocznej 8cm. Figurą w podstawie jest kwadrat o boku długości 3cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Dla ułatwienia rysujemy sobie siatkę opisanego graniastosłupa i zaznaczamy długości krawędzi:

Obliczamy najpierw pole jednej podstawy, a następnie mnożymy wynik razy dwa, ponieważ mamy dwie podstawy w graniastosłupie:

2Pp = 2(3cm 3cm) = 2 9cm2 = 18cm2

Później obliczamy pole boczne w tym wypadku będzie to pole prostokąta o długościach krawędzi 3cm i 8cm i mnożymy je razy 4, gdyż mamy cztery takie boki.

Pb = 4(3cm 8cm) = 4 24cm2 = 96cm2

Następnie dodajemy pole podstaw i pole boków zgodnie z naszym wzorem:

P = 18cm2 + 96cm2 = 114cm2

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 114cm2.

Przykładowe zadanie 2:
Dany jest graniastosłup o polu powierzchni całkowitej 170cm2. Wiedząc, że figurą w podstawie jest kwadrat o boku długości 5cm, oblicz długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa.

Obliczamy najpierw pole podstaw:
Pp = 2(5cm 5cm) = 2 25cm2 = 50cm2

Następnie od pola całkowitego odejmujemy pole podstaw:
170cm2 – 50cm2 = 120cm2

Dzielimy na 4, by otrzymać pole jednego boku:
120cm2 : 4 = 30cm2
Dzielimy na 5cm:
30cm2 : 5cm = 6cm

Odpowiedź: Długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa jest równa 6cm.