Pole powierzchni koła

Pole powierzchni koła

Wstęp:
Koło to jeden z najstarszych wynalazków ludzkości. Mimo, że ma już tyle lat używamy go do dziś np. w transporcie. Samym kołem jako takim interesowali się już sami starożytni, badając zależność pomiędzy jego obwodem, a promieniem. Wtedy to światło dzienne ujrzała liczba pi (π), która przydaje się do obliczania obwodu koła, ale także jego pola.

Promień, cięciwa i średnica koła:
Promień koła to odcinek poprowadzony od środka tego koła do jego „brzegu” (punktu na obwodzie). Cięciwa to odcinek łączący 2 dowolne punkty na obwodzie koła. Najdłuższa cięciwa to średnica i jest ona dwukrotnie dłuższa od promienia koła (oraz przechodzi przez środek tego koła). Dla ułatwienia powyższe pojęcia i zależności przedstawione są na rysunku poniżej:

Obliczanie pola koła:
Pole koła oblicza się niezwykle łatwo, gdyż potrzebujemy tylko wiedzieć ile wynosi promień tego koła. Żeby obliczyć te pole korzystamy ze wzoru: P = π r2 , gdzie r to promień koła, π to niewymierna liczba „pi” ( 3,14), a P to pole danego koła. Żeby przećwiczyć obliczanie pola koła przeanalizujmy poniższe przykłady:

Przykład 1:
Oblicz pole koła, jeśli jego promień wynosi 3 cm.

Mamy podany promień (3 cm). Żeby obliczyć pole tego koła korzystamy z poznanego wyżej wzoru:
P = π r2 = π (3 cm)2 = π 9 cm2 = 9π cm2 (Zawsze pamiętajmy o odpowiedniej jednostce na końcu wyniku)
A zatem pole tego koła jest równe 9π cm2.

(Taki wynik uznaje się za ostateczny, gdyż liczba pi jest liczbą niewymierną, której nie da się „ładnie” rozpisać. Możemy jednak podać przybliżoną wartość pi ( 3,14) i wtedy obliczyć przybliżoną wartość pola koła. Robimy to jednak tylko wtedy, gdy jasno mówi nam o tym polecenie np. gdyby pisało jeszcze „przyjmij, że π 3,14″ to Pole wynosiłoby wtedy: P = π r2 3,14 (3 cm)2 = 3,14 9 cm2 = 28,26 cm2).

Przykład 2:
Oblicz pole koła, jeśli jego średnica wynosi 10 cm.

Mamy podaną średnicę, a do obliczenia pola potrzebujemy promień. Wiemy jednak, że średnica (oznaczana literą „d”) jest 2 razy dłuższa niż promień, a zatem: 2 r = d a my wiemy, że d = 10 cm, więc:
2 r = 10 cm (dzielimy obustronnie przez 2)
r = 5 cm
Mając promień możemy teraz obliczyć pole koła:
P = π r2 = π (5 cm)2 = 25π cm2
A zatem obliczone przez nas pole koła wynosi 25π cm2.

Czasem może być tak, że będziemy mieli podane pole koła, ale nie będziemy wiedzieli jaki jest promień. Nie zrażamy się wtedy tylko układamy sobie proste równanie, tak jak w przykładzie poniżej.

Przykład 2:
Pole koła wynosi 16π cm2. Oblicz jego:
a) promień
b) średnicę

a) Znamy wzór na pole koła oraz wiemy ile ono wynosi, czyli:
P = 16π cm2 = π r2 (Rozwiązujemy równanie zaczynając od obustronnego podzielenia przez π)
16 cm2 = r2 (pierwiastkujemy obie strony równania ( ) pamiętając, że r musi być na pewno większe niż 0 (r > 0))
r = = 4 cm
A zatem nasz promień ma długość 4 cm.

b) Skoro promień ma długość 4 cm, a średnica jest zawsze 2 razy dłuższa niż promień to:
d = 2 4 cm = 8 cm
Czyli średnica ma długość 8 cm.

Podsumowanie:
Przypomnieliśmy sobie co to jest promień, cięciwa oraz średnica. Wiesz także jaki jest wzór na pole koła. Umiesz też obliczać pole koła, mając do dyspozycji promień albo średnicę (i na odwrót – znając pole policzysz promień albo średnicę).