Pole sześciokąta

Jak wiemy, wyróżniamy kilka rodzajów sześciokątów. Sześciokąt, którego miary kątów wewnętrznych są takie same i tym samym długości boków są takie same, jest sześciokątem foremnym. Przykładowe sześciokąty foremne przedstawione są poniżej.


Zajmijmy się sposobami obliczeń pól sześciokątów foremnych. Generalnie rzecz ujmując, po narysowaniu przekątnych w opisywanej przeze mnie figurze, możemy zauważyć, że sześciokąt foremny dzieli się na sześć trójkątów. Skoro każdy sześciokąt ma 720°, to miara kąta wewnętrznego wynosi odpowiednio 720° : 6 = 120°. W takim razie możemy tę wartość przeliczyć jeszcze na radiany, a więc ten kąt wynosi również . Także zauważamy, że przekątne dzielą ten kąt na dwa mniejsze odpowiednio po 60°. Tym samym widzimy, że powstałe trójkąty to trójkąty równoboczne o boku a.

W takim razie, pole sześciokąta foremnego zbudowanego z trójkątów równobocznych będzie równy polu jednego trójkąta równobocznego o boku a pomnożony razy 6:

Jeśli potrzebujemy znaleźć pole jednego trójkąta równobocznego to możemy użyć specjalnego wzoru:

Jeżeli jednak zależy nam na obliczeniu wysokości trójkąta, to powinniśmy użyć wzoru: .

Spróbujmy teraz wykorzystać tę wiedzę w praktyce

zadanie 1
Oblicz pole sześciokąta foremnego, którego bok wynosi 4cm.

Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od wypisania danych. Następnie podstawiamy dane do wzoru i otrzymujemy wynik.

P>0
a=4cm

Odpowiedź: Pole sześciokąta foremnego o boku 4 cm wynosi .

zadanie 2
Oblicz pole sześciokąta foremnego, którego odcinek ( |BE| ) cm.

Rozwiązania zadania znów rozpoczynamy od zapisania danych oraz założeń. Następnie zauważamy, że gdy odcinek |BE| podzielimy na dwa, to otrzymamy długość jednego z boków trójkąta. Tym samym pamiętając, że są to trójkąty równoboczne możemy powiedzieć, że bok trójkąta jest równy bokowi sześciokąta foremnego. Na koniec otrzymane dane podstawiamy do wzoru i otrzymujemy wynik.

|BE| > a > 0

|BE| = 2cm
|BO| = |OE|
|BO| + |OE| = 2cm
|BO| = 1cm = a
|OE| = 1cm = a

W takim razie podstawiamy wszystko do wzoru:

Odpowiedź: Pole tego sześciokąta foremnego wynosi .

zadanie 3
Sześciokąt foremny został podzielony na sześć trójkątów równobocznych. Wysokość każdego z nich wynosi 0,5cm. Oblicz pole całej figury.

Rozwiązanie zadania również rozpoczynamy od wypisania danych i założeń. Kolejno podstawiamy dane do wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym. Ten wzór następnie przekształcamy w taki sposób, aby z łatwością wyliczyć z niego długość boku trójkąta. Na samym końcu otrzymany wynik podstawiamy do wzoru na pole sześciokąta foremnego.

h=0,5cm
a>0
P>0

podstawiamy dane do wzoru
mnożymy przez mianownik
dzielimy przez pierwiastek z trzech
przerzucamy na drugą stronę szukaną
rozszerzamy ułamek, aby usunąć niewymierność z mianownika.

Odpowiedź: Pole sześciokąta foremnego wynosi .

Skoro już wiemy jak używać podstawowych wzorów z sześciokątami foremnymi, możemy przejść do omawiania bardziej skomplikowanych zadań z sześciokątami foremnymi. Na samym końcu zajmiemy się dopiero sześciokątami, których boki są różnej długości.

Spójrz na figurę powyżej. Jak widzisz, przez dwa trójkąty została poprowadzona prosta, która jest krótszą przekątną sześciokąta foremnego. Tym samym, powstały nam tak jakby trzy romby. W takim razie, możemy spróbować policzyć pole takiej figury znając tylko pewne długości odcinków czy też pole tych rombów. Oczywiście możemy również użyć tutaj wzorów na pole równoległoboków, gdyż jak wiemy, każdy romb jest równoległobokiem.

Zacznijmy od prostego zadania

zadanie 1
Sześciokąt foremny ma krótszą przekątną długości 2 cm. Dłuższa przekątna ma długość 4cm. Oblicz pole powierzchni jednego rombu utworzonego poprzez narysowanie przekątnych. Podaj, jaką częścią figury jest ten romb.

Mniej więcej tak będzie wyglądać rysunek pomocniczy do naszego zadania.

Odcinek |BD| (krótsza przekątna) jest długości = We wzorze na pole rombu używa się liter e i f na określenie przekątnych. Tak samo postąpię w tym zadaniu. Dłuższa przekątna, a więc |CF| jest długości 4cm. Tym samym, aby znaleźć szukaną przez nas długość krótszej przekątnej, należy tę długość podzielić na dwa, a więc 4cm : 2 = 2cm = e

W tym momencie przechodzimy do obliczenia pola rombu.
e = 2cm
f=

Skoro wiemy, że połowa dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego to 2cm, a tym samym jest to bok trójkąta równobocznego to możemy na tej podstawie obliczyć całe pole sześciokąta:
a=2cm

Teraz czas sprawdzić, jaką częścią całej figury jest ten romb. Aby to sprawdzić tworzymy stosunek pola rombu do pola sześciokąta foremnego:

Z tego wynika, że romb jest trzecią częścią sześciokąta foremnego.

Na sam koniec warto jeszcze wspomnieć, o tym, jak obliczać pole sześciokątów, które nie są foremne. Nie ma na ten moment żadnych specjalnych wzorów. Najłatwiej jest po prostu podzielić figurę na takie części, aby móc policzyć ich pole, a więc np. możemy podzielić figurę na trójkąty, równoległoboki, trapezy itd. Dzięki temu podziałowi łatwiej policzymy pola mniejszych części, a na samym końcu zsumujemy wszystkie wyniki. Spróbujmy na sam koniec rozwiązać jedno takie przykładowe zadanie.

zadanie
Oblicz pole powierzchni poniższej figury.

Zacznijmy może obliczenia od góry.

Trójkąt ABA’
a=12cm
h=8cm

Trójkąt AFE
h=3cm
a=15cm

Trójkąt EDC
h=7cm
a=5cm

Trapez AA’CE
a=5cm
b=12cm
h=10cm

Odpowiedź: Pole powierzchni tego sześciokąta wynosi 173