Pole sześciokąta foremnego

Pole sześciokąta foremnego

W tym opracowaniu dowiesz się:

Czym jest i jak wygląda sześciokąt.
Czym jest figura foremna.
Czym jest i jak wygląda sześciokąt foremny.
Jaki jest wzór na pole sześciokąta foremnego.
Jak obliczyć pole sześciokąta foremnego.

1. Czym jest i jak wygląda sześciokąt?

Sześciokąt jest figurą płaską(dwuwymiarową) która posiada 6 boków oraz 6 kątów. Suma miar tych kątów wynosi dla każdego sześciokąta 720. Większość ludzi gdy usłyszy pojęcie sześciokąt zazwyczaj ma wyobrażenie sześciokąta którego boki oraz kąty są identyczne. Oczywiście są taki sześciokąty, lecz również sześciokąt może wyglądać w ten sposób:

2. Czym jest figura foremna?

Figura foremna jest to figura płaska, która posiada wszystkie boki tej samej długości oraz wszystkie kąty tej samej miary. Figurą foremną może być każdy wielokąt którego kąty są wypukłe. Na dodatek musi on posiadać minimum 3 boki, więc wielokąty foremne pod względem tego ile mają boków, zacząć by można było wymieniać dopiero począwszy od trójkąta.

3. Czym jest i jak wygląda sześciokąt foremny?

Sześciokąt foremny jest to sześciokąt, który jest figurą płaską a na dodatek foremną, czyli tak jak wspomniałem w poprzednim punkcie – figurą która posiada wszystkie boki tej samej długości oraz w przypadku sześciokąta foremnego każdy kąt miary 120. Oznacza to, że suma miar kątów w sześciokącie foremnym wynosi 720. Sześciokąt ten również posiada 3 przekątne, które przecinają się w połowie i są jednakowej długości. Przekątna tego wielokąta jest dwa razy większa od boku tej figury. Dodatkowo warto wspomnieć o tym, że sześciokąt foremny o boku a, składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku a.

Sześciokąt foremny wygląda następująco:

4. Jaki jest wzór na pole sześciokąta foremnego?

Aby uzyskać wzór na pole sześciokąta foremnego, trzeba wiedzieć to, że sześciokąt ten składa się z trójkątów równobocznych, oraz trzeba znać wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a (również nazywanego trójkątem foremnym). Przejdźmy zatem najpierw do omówienia i przedstawienia wzoru na obliczenie pola trójkąta foremnego.

Pole trójkąta foremnego o boku a, oblicza się podkładając wartość boku do kwadratu, następnie mnożąc przez pierwiastek z trzech, a na koniec dzieląc przez cztery.

W formie graficznej wzór na pole trójkąta równobocznego wygląda następująco:

Pole sześciokąta foremnego jest to pomnożone sześć razy pola trójkąta foremnego o tym samym boku co posiada sześciokąt foremny.

Wzór wygląda następująco:

5. Jak obliczyć pole sześciokąta foremnego?

Pole sześciokąta foremnego oblicza się używając powyżej wymienionego wzoru, tylko w uproszczonej wersji, która wygląda następująco:

Rozwiążę poniżej kilka zadań, w których przedstawię m.in zależności w sześciokątach foremnych jakie występują podczas obliczania jego pola.

Przykład 1:

Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku długości 3

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=3
P=?

Krok 2: Podajemy wzór na pole sześciokąta foremnego:

P=

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

P=

P=

P=

P=

Odpowiedź: Pole sześciokąta foremnego wynosi .

Przykład 2:

Oblicz pole sześciokąta foremnego o przekątnej długości 10.

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

f=10
a=?
P=?

Krok 2: Obliczamy długość boku a, korzystając z zależności jaka jest między bokiem sześciokąta foremnego, a przekątną tego wielokąta:

f=2a

10=2a /:2

a=5

Krok 3: Podajemy wzór na pole sześciokąta foremnego:

P=

Krok 4: Podstawiamy wartości do wzoru:

P=

P=

P=

P=

Odpowiedź: Pole sześciokąta foremnego wynosi .

Przykład 3:

Ile wynosi długość boku sześciokąta foremnego, jeśli jego pole wynosi ?

Rozwiązanie:

Krok 1: Podajemy wzór na pole sześciokąta foremnego:

P=

Krok 2: Przekształcamy wzór, tak aby po jednej stronie mieć tylko niewiadomą:

P= /

2P=3a2 / :a2

=

=a2 /

a=

Podczas przekształcania wzoru skorzystaliśmy z zależności:

Krok 3: Podkładamy dane do wzoru:

a=

a=

a=

a=4

Odpowiedź: Długość boku sześciokąta foremnego wynosi 4.

Dziękuję za uwagę.