Pole trójkata

Czym jest trójkąt?
Trójkąt to wielokąt. Jest to figura domknięta i wypukła. Inaczej jest to łamana zamknięta, składająca się z trzech odcinków. Trójkąt ma trzy boki i trzy kąty, których suma wynosi .

Pole trójkąta – podstawowy wzór
Jednym z podstawowych działań, jakie możemy przeprowadzać z użyciem wielkości trójkąta, jest wyliczenie jego pola powierzchni. Podajemy je zawsze w jednostce kwadratowej, np. .

Podstawowy wzór na pole powierzchni trójkąta wygląda następująco:

lub inny zapis:

– pole trójkąta
– bok trójkąta, na który spada wysokość
– wysokość trójkąta opuszczona na bok

Dlaczego taki a nie inny? Odpowiedź to wzór na równoległobok
(). Jak widać pole trójkąta to poniekąd wzór na pole równoległoboku, tylko podzielone przez dwa. Jeśli złączymy dwa takie trójkąty to wyjdzie nam właśnie równoległobok o podstawie i wysokości .

Jeśli pomnoży się ze sobą te dwie wartości wyjdzie nam pole całej figury, czyli równoległoboku. Jeśli chcemy mieć pole trójkąta, to dzielimy przez dwa, ponieważ połowa tego równoległoboku to nasz jeden trójkąt (całe pole równoległoboku jest równe polu dwóch takich trójkątów).

PRZYKŁADY
Przykład 1
W pewnym trójkącie bok, na który spada wysokość, ma 5 cm. Wysokość natomiast jest trzy razy dłuższa od tego boku. Oblicz pole tego trójkąta.
Na początek wypisujemy sobie dane, żeby było nam łatwiej.


Teraz wystarczy podstawić wartości do wzoru i obliczyć.

Pole tego trójkąta wynosi .

Przykład 2
Plac w kształcie trójkąta równobocznego ma pole powierzchni równe . Jedna z krawędzi tego placu ma długość . Oblicz wszystkie możliwe wysokości tego trójkąta.
Wypisujemy dane.


Podstawiamy do wzoru.





Wiemy, że to trójkąt równoboczny, więc każda z wysokości jest równej długości. Rozwiązanie zadania to: Każda z wysokości tego trójkąta ma długości.

Pole trójkąta – wzór z sinusem
<
Kolejnym wzorem na pole trójkąta jest wzór z sinusem. Możemy obliczyć pole tego wielokąta, kiedy mamy podane dwa boki i kąt wewnętrzny pomiędzy nimi.

Wzór ten wygląda następująco:

– pole trójkąta
– długości boków trójkąta
– kąt wewnętrzny, leżący pomiędzy bokami i

Spróbujmy teraz wyprowadzić ten wzór. Na początku obliczmy sinusa kąta ostrego . Możemy to zrobić, ponieważ znajduje się on w trójkącie prostokątnym, który tworzą wysokość , bok i część boku . Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwko tego kąta i przeciwprostokątnej.

Doprowadźmy teraz to do takiej postaci, żeby został nam po jednej stronie sama wysokość . Wystarczy pomnożyć obustronnie przez .


Mamy nasze , więc podstawmy to do podstawowego wzoru na pole trójkąta.

Takim sposobem otrzymaliśmy nasz wzór na przykładzie trójkąta ostrokątnego.

Spróbujmy teraz zrobić to samo na trójkącie prostokątnym.

W trójkącie prostokątnym tak naprawdę można wykorzystać podstawowy wzór na pole trójkąta, gdyż bok jest wysokością opadającą na bok lub na odwrót. Jednak mając podane, że kąt jest kątem prostym () możemy zastosować także wzór z sinusem.

W jakim celu mnożę to przez jedne? Odpowiedź jest prosta. Pomnożenie przez jeden nie zmienia w żaden sposób naszego wyniku, a wiemy, że nasz ma , a , więc możemy podstawić do wzoru naszego sinusa w miejsce jedynki.
.

>
Został nam jeszcze jeden przypadek, czyli trójkąt rozwartokątny.

Aby wyprowadzić wzór, potrzebujemy dorysować wysokość tego trójkąta poprzez dorysowanie pomocniczych linii (na rysunku jasnoszary). W ten sposób powstał nam trójkąt prostokątny o kącie ostrym i bokach: i . Obliczamy sinusa w trójkącie prostokątnym dla kąta .

Następnie musimy zamienić na . Wiemy, że , więc stosujemy wzór . Wiemy z tego, że , więc nic się nie zmieni.

Teraz wyznaczamy i podstawiamy do podstawowego wzoru na pole trójkąta.

PRZYKŁADY
Przykład 1
Oblicz pole tego trójkąta.
W tym trójkącie mamy podane wartości dwóch boków. Kąt, którego wartości nie znamy jest naszym kątem , gdyż leży pomiędzy tymi dwoma bokami. Wynosi on , więc możemy w łatwy sposób wyliczyć sinusa. Miara tego kąta jest taka, ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi , więc po odjęciu od tej wartości pozostałych dwóch kątów, wyjdzie nam .



Podstawiamy do wzoru i obliczamy.

Pole tego trójkąta wynosi jednostek kwadratowych.

Przykład 2
Oblicz pole tego trójkąta.
Na początek, musimy ustalić ile wynosi jakiś jeden bok, gdyż potrzebujemy dwóch do obliczenia pola powierzchni. Wszystkie kąty w tym trójkącie mają jednakowe miary. Wynika z tego, że jest to kąt równoboczny, czyli wszystkie boki ma równej długości (, ). Każdy bok ma więc długość 6.


(aby obliczyć wartość sinusa, potrzebna by nam była wysokość tego trójkąta, jednak nie mamy jej podanej, a wiemy, że jest równy , gdyż jest to jedna z podstawowych i łatwych do zapamiętania wartości)
Podstawiamy teraz wartości do wzoru.

Pole tego trójkąta wynosi jednostek kwadratowych.

Pole trójkąta – trójkąt wpisany w okrąg
Kolejny wzór na pole trójkąta, będziemy mogli obliczyć z własności trójkąta w okręgu. Do obliczenia jego pola powierzchni potrzebne nam będą długości jego boków i długość promienia okręgu

Wzór ten wygląda następująco:

– pole trójkąta
– długości boków trójkąta
– długość promienia okręgu

Spróbujmy wyprowadzić teraz ten wzór. W końcu nie wziął się znikąd.

Poprowadziłem średnicę, która ma początek w jednym z wierzchołków trójkąta (wierzchołek ). Od tej średnicy utworzyłem drugi trójkąt , którego bokami są: średnica okręgu, bok pierwszego trójkąta oraz dorysowany odcinek . Trójkąt jest trójkątem prostokątnym, ponieważ każdy trójkąt wpisany w okrąg, którego jeden z boków jest równy średnicy okręgu, jest trójkątem prostokątnym. Mamy też drugi trójkąt prostokątny . Wiemy też, że kąty utworzone na podstawie jednego łuku, mają zawsze taką samą miarę, wynoszącą połowę miary z kąta, który tworzą dwa punkty z końców łuku i środek okręgu (w naszym przypadku jest to łuk , więc kątem tym będzie kąt ). Oznacza to, że jeśli połączymy linią jeden z końców łuku ( ) z dowolnym punktem na okręgu, który jest poza łukiem (), i połączymy dowolny punkt z drugim końcem łuku (), to otrzymamy połowę kąta .

Oznacza to, że kąty i są przystające. Z tego wynika też, że trójkąty i są podobne. Możemy więc ułożyć z tego proporcję:

, czyli dwa razy promień okręgu, czyli średnica, która jest również przeciwprostokątną większego trójkąta prostokątnego.
Chcemy dostać wzór na pole powierzchni trójkąta , więc zapiszmy jego podstawową wersję:

Przekształćmy teraz ten wzór tak, aby wyznaczyć wysokość , żebyśmy mogli podstawić ją do naszego wcześniej ułożonego równania w postaci proporcji. Mnożymy przez i dzielimy przez .


Podstawiamy.

Teraz przekształcamy to równanie tak, aby po jednej stronie zostało nam samo pole . Na początek mnożymy obustronnie przez , żeby pozbyć się go z mianownika.

Teraz mnożymy obustronnie przez , żeby pozbyć się go z mianownika.

Na sam koniec dzielimy przez dwa obustronnie, żeby zostało nam jedno

Takim sposobem otrzymaliśmy nasz wzór na pole trójkąta wpisanego w okrąg, jeśli mamy podane długości jego boków.

UWAGA! Powyższy wzór można przekształcać. Często przekształca się go, aby obliczyć promień okręgu. Wygląda on wtedy w następujący sposób: .
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to średnica okręgu jest jednocześnie jego przeciwprostokątną. Wychodzi nam wtedy warunek , gdzie to przeciwprostokątna trójkąta, a promień okręgu. Możemy w ten sposób przekształcić to na wzór na promień okręgu: .
Jeśli trójkąt jest równoboczny, to wiemy, że jego wysokości są jednocześnie jego środkowymi. Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, przez co każda z nich dzieli się na dwa odcinki o stosunku . Promień natomiast od wierzchołka trójkąta, jest równy zawsze dłuższej części środkowej, czyli . Wzór na promień wygląda więc następująco: . Możemy to jednak przekształcić, gdyż znamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego . Podstawiamy: .

PRZYKŁADY
Przykład 1

Wiedząc, że pole tego trójkąta wynosi , oblicz długość boku .




Niewiadomą traktujemy jako ze wzoru. Podstawiamy wartości i obliczamy jak równanie.

Przykład 2

Oblicz pole tego trójkąta.
Widzimy, że przeciwprostokątna jest średnicą okręgu, więc wiemy, że jest to trójkąt prostokątny. W takim przypadku możemy obliczyć trzeci bok za pomocą twierdzenia Pitagorasa lub pomnożyć wartość promienia przez dwa. Po obliczeniu tego wyjdzie nam, że przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość . Możemy więc podstawiać do wzoru i obliczać.





Pole tego trójkąta jest równe .

Przykład 3

Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.
Na początek musimy obliczyć sobie wartość promienia.

Promień okręgu nachodzi na wysokość trójkąta, która jest jednocześnie jego środkową, kończąc się w punkcie przecięcia środkowych, który jest równocześnie środkiem okręgu. Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że punkt przecięcia środkowych dzieli je na dwie części, które są do siebie w stosunku , a więc nasz promień wyliczymy ze wzoru . Jednak musimy najpierw mieć wysokość. Wystarczy ją obliczyć ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym , gdzie to długość boku.






Pole tego trójkąta wynosi

Istnieje jeszcze jeden wzór na pole trójkąta wpisanego w okrąg, jeśli podane są jego kąty i promień. Wygląda on następująco:

Podwojoną wartość promienia podniesionego do kwadratu mnożymy przez sinusa każdego z kątów. W ten sposób wychodzi nam pole trójkąta.

Pole trójkąta – trójkąt opisany na okręgu

Kolejny wzór pozwala na obliczenie pola trójkąta, jeśli możemy obliczyć lub mamy podany promień okręgu, na którym opisany jest trójkąt i mamy podany obwód trójkąta. Wygląda on następująco:

– pole trójkąta
– długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt
– połowa obwodu trójkąta ()

Spróbujmy wyprowadzić ten wzór.

Fioletowe linie utworzyły nam trzy trójkąty: . Promień okręgu jest dla każdego z nich wysokością. Wzór na duży trójkąt wyglądałby więc tak:

Możemy wyciągnąć przed nawias

Takim oto sposobem otrzymaliśmy wzór w naszym wzorze wzór na połowę obwodu trójkąta, który zastępujemy literą .

PRZYKŁADY
Przykład 1
Są dwa trójkąty. Trójkąt numer jeden ma obwód równy . Trójkąt numer dwa ma obwód trzy razy mniejszy. Oblicz pole powierzchni trójkąta numer dwa, jeśli wiemy, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest dwa razy mniejszy od jego obwodu pomniejszonego o 2.
Wypisujemy dane.




Podstawiamy do wzoru

Przykład 2
Pewien trójkąt

Pole trójkąta – wzór Herona

Ostatni wzór na pole trójkąta możemy wykorzystać, gdy dane mamy wszystkie boki trójkąta lub możemy je w łatwy sposób obliczyć. Wygląda on następująco:

– pole powierzchni trójkąta
– długości boków trójkąta
– połowa obwodu trójkąta ()

Spróbujmy wyprowadzić ten wzór.

Na rysunku zaznaczyłem podstawę i podzieliłem podstawę na dwie części tak, że powstały nam dwa trójkąty prostokątne. Możemy ułożyć więc dwa twierdzenia Pitagorasa:


Wymnóżmy drugie równanie.

Oba te równania możemy wstawić do układu równań i odjąć stronami równania. Pozostanie nam wtedy:

Teraz wyznaczamy .


Wstawiamy teraz do równania .

Wyznaczamy wysokość .


Podstawiamy wysokość do podstawowego wzoru na pole trójkąta.

We wzorze Herona wszystko jest pod pierwiastkiem, więc sprawmy, żeby też znalazła się pod pierwiastkiem.

Mnożymy z nawiasem,

Następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia.

Następnie możemy sprowadzić do wspólnego mianownika poszczególne nawiasy.

Możemy zastosować kolejne wzory skróconego mnożenia.

Nasz wzór zaczyna się już układać. Ostatni człon naszego pierwiastka wynosi , co jest połową obwodu, czyli . Następnie spójrzmy na trzy pozostałe ułamki. Powinny to być połowa obwodu minus jeden z boków trójkąta. Sprawdźmy to na przykładzie pierwszego ułamka.

Wyszło to samo, tylko w nieco innej kolejności, ale to nie jest żadne problem, gdyż składniki sumy możemy sobie poprzestawiać. A więc każdy z tych trzech nawiasów to minus jeden z boków. Zapiszmy to symbolicznie.

PRZYKŁADY
Przykład 1
Trójkąt ma obwód równy 99. Jego boki są w stosunku 2:3:4. Oblicz pole tego trójkąta.
Obliczamy długości kolejnych boków i połowę obwodu.




Podstawiamy do wzoru.