Pole trójkąta prostokątnego

Pole trójkąta prostokątnego

W tym opracowaniu dowiesz się:

Czym jest trójkąt.
Czym jest trójkąt prostokątny.
Czym jest trójkąt pitagorejski.
Czym jest Twierdzenie Pitagorasa.
W jaki sposób obliczać pole trójkąta prostokątnego.

1. Czym jest trójkąt?

Trójkąt jest to figura geometryczna płaska (dwuwymiarowa), która posiada 3 kąty oraz 3 boki. Suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Aby trójkąt mógł powstać, między bokami musi występować poniższa zależność:

a+b>c
a+c>b
b+c>a

Oznacza to, że suma dwóch boków w trójkącie musi być większa niż miara boku trzeciego. Ten warunek dotyczy każdej z trzech par boków w trójkącie i jeśli któraś para boków po zsumowaniu ze sobą jest mniejsza, lub równa trzeciemu bokowi, wtedy taki trójkąt jest niemożliwy do stworzenia, co oznacza, że po prostu nie istnieje.

Trójkąty dzielimy ze względu na:

Boki:

-Równoboczny
-Równoramienny
-Różnoboczny

Kąty

-Ostrokątny
-Rozwartokątny
-Prostokątny

2. Czym jest trójkąt prostokątny?

Trójkąt prostokątny jest to trójkąt który posiada jeden kąt prosty oraz dwa ostre. Miara kąta prostego wynosi oczywiście 90 stopni, więc pozostałe dwa kąty muszą dać razem miarę równą kątowi prostemu, ponieważ 180-90=90. Posiada on również dwie przyprostokątne a, b oraz przeciwprostokątną c. Przyprostokątne są do siebie prostopadłe. Podczas obliczania pola trójkąta prostokątnego, jedna z jego przyprostokątnych służy jako wysokość, a druga jako podstawa trójkąta, dzięki czemu wzór na pole trójkąta prostokątnego może wyglądać:

oraz

P – pole trójkąta prostokątnego
a – podstawa trójkąta prostokątnego/przyprostokątna
h=b – wysokość trójkąta prostokątnego/druga przyprostokątna

Trójkąt prostokątny wygląda następująco:

3. Czym jest trójkąt pitagorejski?

Trójkąt pitagorejski, jest to typ trójkąta prostokątnego, którego proporcje boków wynoszą:

3:4:5
5:12:13
8:15:17
9:40:41
7:24:25

Najpopularniejszym, a zarazem najprostszym z trójkątów pitagorejskich jest trójkąt egipski, czyli trójkąt o proporcjach 3:4:5
Jego nazwa wywodzi się z tego, że był on używany przez Egipcjan do tworzenia wielu budowli pod kątem prostym.

4. Czym jest Twierdzenie Pitagorasa?

Twierdzenie Pitagorasa jest to twierdzenie dotyczące trójkąta prostokątnego, a dokładniej boków tej figury geometrycznej. Twierdzenie to mówi o zależności jaka panuje między przyprostokątnymi, a przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego a brzmi ono następująco:

Suma kwadratów przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Twierdzenie Pitagorasa można również przedstawić za pomocą wzoru:

a – przyprostokątna trójkąta
b – przyprostokątna trójkąta
c – przeciwprostokątna trójkąta

Przykład 1:

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokąta, jeśli jego przyprostokątne wynoszą 5 oraz 7.

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=5
b=7
c=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru i obliczamy długość przeciwprostokątnej:

Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi .

Przykład 2:

Oblicz długość jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, którego druga z przyprostokątnych ma miarę 6, a przeciwprostokątna ma długość .

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=?
b=6
c=

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

Krok 3: Przekształcamy wzór, tak aby otrzymać niewiadomą po jednej stronie, a pozostałe liczby po drugiej:

Krok 4: Podstawiamy wartości do wzoru i obliczamy długość przyprostokątnej:

Odpowiedź: Długość przyprostokątnej wynosi 9.

5. W jaki sposób obliczać pole trójkąta prostokątnego?

Tak jak wspomniałem w jednym z poprzednich punktów, pole trójkąta obliczamy mnożąc ze sobą wartości przyprostokątnych trójkąta, a następnie dzieląc całość przez 2. Sposób ten wygląda następująco, ponieważ wysokość jest to odcinek wychodzący prostopadle z podstawy trójkąta, a skoro przyprostokątne tego trójkąta są do siebie prostopadłe to jedna z nich może odpowiadać za podstawę trójkąta, a druga za jego wysokość.

Poniżej na podstawie kilku przykładów przedstawię w jaki sposób oblicza się pole trójkąta prostokątnego.

Przykład 1:

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o długościach przyprostokątnych równych 4 oraz 8

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=4
b=8
P=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na pole trójkąta prostokątnego:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru i obliczamy pole trójkąta prostokątnego:

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 16 j2.

Przykład 2:

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o długości przyprostokątnej równej 4 oraz przeciwprostokątnej równej 8,5.

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=4
b=?
c=8.5

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa aby obliczyć przyprostokątną:

Krok 3: Przekształcamy wzór, tak aby otrzymać niewiadomą po jednej stronie, a pozostałe liczby po drugiej.

Krok 4: Podstawiamy wartości do wzoru i obliczamy długość przyprostokątnej:

Krok 5: Przedstawiamy wzór na pole trójkąta prostokątnego:

Krok 6: Podstawiamy wartości do wzoru i obliczamy pole trójkąta prostokątnego:

Odpowiedź: Pole trójkąta prostokątnego wynosi 15 j2.

Dziękuję za uwagę.