Pole trójkata równobocznego wzór

Trójkąt równoboczny jest to jedyny trójkąt będący figurą foremną. Jest to szczególny trójkąt równoramienny, którego podstawa także ma długość tej samej długości co ramiona. Figura ta ma wszystkie-3 takiej samej długości boki. Więc obwód trójkąta równobocznego jest równy Obw= 3a.

Wszystkie kąty w trójkącie równobocznym są jednakowej miary. Kąty wewnętrzne tego trojkąta mają miarę 60°.

Własności trójkąta równobocznego:
>symetralne, dwusieczne, wysokości i środkowe pokrywają się

>symetralne, dwusieczne, wysokości i środkowe trójkąta równobocznego przecinają się w jednym punkcie- S.

>Każda wysokość trójkąta równobocznego jest takiej samej długości. Wysokość trójkąta równobocznego o boku a jest równa:

Wzór ten jest przekształceniem Twierdzenia Pitagorasa w zacieniowanym trójkącie prostokątnym, który powstaje po podzieleniu trójkąta równobocznego na dwa trójkąty prostokątne, przystające względem siebie:
( a)2+ h2= a2
a2– a2 = h2
a2= h2
a= h
a= h

h= a
Co kończy dowód na wzór na długość wysokości w trójkącie równobocznym.

> Pole trójkąta równobocznego można obliczyć za pomocą wzoru:
P= ah
P= a · a

P= a2

Zadanie 1.
Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku a= 5 cm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
a= 5 cm
Wypisujemy szukane
P= ? (cm2)
Podstawiamy dane do wzoru na pole trojkąta równobocznego:
P= a2
Otrzymujemy:
P= · 52 (cm2)
P= · 25 (cm2)
P= cm2

Odpowiedź: Pole trójkąta równobocznego o boku długości a=5 cm wynosi cm2.

Zadanie 2.
Oblicz pole trójkąta równobocznego o wysokości 6√3 cm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
h= 6√3 cm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Aby obliczyć pole potrzebujemy także znać długość boku trójkąta równobocznego- a.
a= ?
Aby obliczyć a przekształcamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
h= a /· 2/√3
· h= a
a= h
a= · h
A następnie podstawiamy wartość h i otrzymujemy:
a= · 6√3 cm
a=
a=
a= 12 cm
Zatem bok a trójkąta równobocznego jest równy 12 cm, obliczamy teraz pole tego trójkąta podstawiając do wzoru:
P= · a2
P= 122 cm2
P= · 144 cm2
P= 36√3 cm2

Odpowiedź: Pole trójkąta równobocznego o wysokości długości 6√3 cm jest równe 36√3 cm2.

Zadanie 3.
Oblicz obwód i wysokość trójkąta równobocznego o polu P= cm2 .

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
P= cm2
Wypisujemy szukane:
Ob.= ?
h= ?
Do obliczenia obu szukanych potrzebna jest nam długość boku trójkąta równobocznego- a. Aby obliczyć tą niewiadomą rozwiązujemy równanie stworzone z danego pola i ze wzoru na pole trójkąta rónobocznego:
P= a2
a2= cm2 /· 4/√3
a2= 3 cm2

a2= 25 cm2
a= 5 cm l
Gdy znamy już długość boku trójkąta równobocznego- a, możemy obliczyć obie szukane wartości- obwód trójkąta i wysokość. Aby obliczyć obwód sumujemy długości wszystkich- 3 boków trójkąta:
Ob.= a+ a+ a
Ob.= 3· a
Ob.= 3· 5 cm= 15 cm

Następnie liczymy wysokość podstawiając dane pod wzór:
h= a
h= · 5 cm
h= cm

Odpowiedź: Obwód trójkąta jest równy 15 cm a jego wysokość:

>Punkt przecięcia się wysokości- S dzieli wysokości trójkąta równobocznego w stosunku 2: 1

Zadanie 4.
Oblicz pole trójkąta równobocznego x= 2√3 cm, gdzie x oznacza odległość punktu przecięcia się wysokości w tym trójkącie od podstawy.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
x= 2√3 cm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Aby obliczyć pole potrzebujemy także znać długość boku trójkąta równobocznego- a.
a= ?
Aby obliczyć a przekształcamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego, więc najpierw musimy obliczyć długość wysokości tego trójkąta wiedząc że:
x= h /·3
3x= h
h= 3· 2√3 cm
h= 6√3 cm
Gdy znana jest nam długość wysokości to przekształcamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego aby otrzymać długość boku tego trójkąta:
h= a /· 2/√3
· h= a
a= h
a= · h

A następnie podstawiamy wartość h i otrzymujemy:
a= · 6√3 cm
a=
a=
a= 12 cm
Zatem bok a trójkąta równobocznego jest równy 12 cm, obliczamy teraz pole tego trójkąta podstawiając do wzoru:
P= · a2
P= · 122 cm2
P= · 144 cm2
P= 36√3 cm2

Odpowiedź: Pole trójkąta równobocznego o wysokości długości 6√3 cm jest równe 36√3 cm2.

>Punkt przecięcia się wysokości- S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym. O promieniu R= 2/3h.

Zadanie 5
Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu długości R= 6 cm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
R= 6 cm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Aby obliczyć pole korzystamy ze wzoru w którym jedną z niewiadomych jest długość boku trójkąta- a. Żeby obliczyć tą długość należy obliczyć wartość wysokości korzystając z własności trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg:
R= h
Wzór ten przekształcamy, aby obliczyć długość wysokości- h:
R= h /· 3/2
R= h
Podstawiamy dane:
· 6 cm= h
h=
h= 9 cm
Gdy znamy już długość wysokości h, możemy obliczyć wartość długości boku- a z przekształconego wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
h= a
· h= a
a= · h
a= · h
Podstawiamy obliczoną wcześniej długość wysokości tego trójkąta i otrzymujemy:
a= 2√3/3· 9 cm
a= 2√3· 9 cm/3
a= 2√3· 9 cm/3
a= 2√3· 3 cm
a= 6√3 cm
Gdy znamy już długość boku trójkąta równobocznego jesteśmy w stanie szukane pole korzystając ze wzoru:
P= √3/4· a2
Podstawiamy długość boku- a do wzoru:
P= · (6√3 cm)2
P= · 36· 3 cm2
P= √3· 9· 3 cm2
P= 27√3 cm2

Odpowiedź: Pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu długości R= 6 cm wynosi 27√3 cm2.
>Punkt przecięcia się wysokości- S jest środkiem okręgu wpisanego na trójkącie równobocznym. O promieniu r= h.

Zadanie 6.
Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o średnicy długości d= 12 cm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
d= 12 cm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Aby obliczyć pole korzystamy ze wzoru w którym jedną z niewiadomych jest długość boku trójkąta- a. Żeby obliczyć tą długość należy obliczyć wartość wysokości-h korzystając z własności trójkąta równobocznego opisanego na okręgu:
r= · h
Aby skorzystać z powyższego wzoru musimy wiedzieć, że długość promienia- r jest równa połowie średnicy- d, liczymy długość promienia:
d= 2r
12 cm= 2· r /: 2
r= 6 cm
Wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny znając długość wysokości- h przekształcamy, aby obliczyć długość wysokości- h :
r= h /· 3
3r= h
Podstawiamy dane:
3· 6 cm= h
h= 18 cm
Gdy znamy już długość wysokości- h, możemy obliczyć wartość długości boku- a z przekształconego wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
h= a
· h= a
a= · h
a= · h
Podstawiamy obliczoną wcześniej długość wysokości tego trójkąta i otrzymujemy:
a= · 18 cm
a= 2√3· 18 cm/3
a=
a= 12√3 cm
Gdy znamy już długość boku trójkąta równobocznego jesteśmy w stanie szukane pole korzystając ze wzoru:
P= · a2
Podstawiamy długość boku- a do wzoru:
P= (12√3 cm)2
P= · 144· 3 cm2
P= · 144· 3 cm2
P= √3/4· 432 cm2
P= cm2
P= 108 √3 cm2

Odpowiedź: Pole trójkąta równobocznego odpisanego na okręgu o średnicy d=12 cm wynosi 108 √3 cm2.