Pole walca

Przed wprowadzeniem wzoru na pole walca, opowiem krótko czym jest walec, jak powstaje oraz jak wygląda.
Walec to figura przestrzenna, która powstaje za pomocą obrotu prostokąta wokół dowolnego boku. Można przedstawić to na rysunku:

Niech dany będzie prostokąt:

Następnie obracamy go wokół prostej zaznaczonej na czerwono.

W wyniku otrzymujemy walec:

Jak możemy odczytać z powyższego rysunku, podstawą jest koło. Możemy oznaczyć na rysunku promień koła oraz środek koła.

Pole powierzchni walca liczymy za pomocą dodawania pola powierzchni podstaw oraz pola powierzchni bocznej.
Można narysować „rozłożony walec”.

Jest to tak zwana siatka walca.
Można oznaczyć więc:

Zauważmy, że bok prostokąta ma długość 2πr. Dzieje się tak, ponieważ obwód koła o promieniu r ma taką samą długość.

Ćwiczenie w domu
Potrzebne rzeczy:
nożyczki, kartka papieru, cyrkiel, ołówek, linijka

Krok 1.
Narysuj siatkę walca
Wymiary: prostokąt 12,5cm na 4 cm. Koła o promieniu 2cm. Rysunek spokojnie zmieści się na kartce A5.
Krok 2.
Wytnij siatkę.
Krok 3.
Złóż siatkę tak, aby powstał walec.

Cele: Ćwiczenie pomoże zobrazować walec oraz pole powierzchni walca.

WALEC WZORY

Wzór na pole powierzchni podstawy:

Wzór na pole powierzchni bocznej:

Wzór na pole powierzchni całkowitej walca:

gdzie Pp to pole podstawy, a Pb to pole powierzchni bocznej.

Zadanie 1
Oblicz pole powierzchni podstawy walca. Promień podstawy walca to 5 cm.

Zadanie 2
Oblicz pole powierzchni bocznej walca, którego wysokość ma długość 10cm, a promień podstawy ma długość 10 cm.

W zadaniach ze stereometrii lub geometrii bardzo przydatne jest wykonywanie rysunków pomocniczych.


Do obliczenia powierzchni bocznej potrzeba nam obliczyć obwód koła z podstawy.
Oznaczę dla ułatwienia symbolem B.

Następnie liczymy pole powierzchni bocznej walca ze wzoru na pole prostokąta:

Odpowiedź: Pole tego walca wynosi 200π centymetrów kwadratowych.

Zadanie 3
Walec powstał z obrotu dłuższego boku prostokąta o wymiarach 5 cm x 15 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

Wykonajmy najpierw rysunki pomocnicze.
Pierwszym krokiem będzie narysowanie prostokąta.

Z treści zadania wiemy, że prostokąt należy obrócić wokół dłuższego boku. Możemy narysować więc walec:

Narysuję teraz siatkę tego walca, dzięki której łatwiej sobie wyobrazić obliczenia pola walca.

Możemy przystąpić do obliczeń.
Najpierw obliczymy pole podstawy walca ze wzoru na pole powierzchni koła.

Następnie obliczymy obwód koła, aby uzyskać nieznaną długość boku prostokąta.

Teraz obliczymy pole powierzchni bocznej walca ze wzoru na pole prostokąta.

Pozostało tylko dodać powierzchnie. Należy pamiętać, że walec ma dwie podstawy, dlatego wzór:

gdzie Pp to pole podstawy, a Pb to powierzchnia boczna.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi 200π centymetrów kwadratowych.