Półprosta

Prosta – to taka linia prosta, która nie jest ograniczona z obu jej stron. Oznacza to, że jej długość jest nieograniczona oraz wyznaczona jest przez dwa punkty. Proste zazwyczaj oznaczamy małymi literami, np.: itp.

Własności prostej:
1 . przez dwa różne punkty przechodzi zawsze tylko jedna prosta, czyli dwa punkty jednoznacznie wyznaczają jedną prostą
2 . prosta, która przechodzi przez dwa różne punkty danej płaszczyzny, zawiera się w tej płaszczyźnie
3 . prosta na płaszczyźnie jest zbiorem pewnych punktów, które są identycznie oddalone od dwóch ustalonych punktów
4 . każdy punkt przestrzeni lub dowolnej płaszczyzny należy do nieskończonej ilości prostych. Zbiór tych prostych nazywamy pękiem prostych.

5 . każda prosta zawarta w danej płaszczyźnie, dzieli ją na dwa obszary, które nazywamy półpłaszczyznami. Jest zarazem brzegiem każdego z tych obszarów.
6 . każda prosta ma nieskończenie wiele osi symetrii, czyli prostych, względem których prosta jest symetryczna sama do siebie. Osią symetrii jest sama prosta oraz każda prosta, która jest prostopadła do niej.
7 . każdy punkt leżący na prostej dzieli ją na dwie części, które nazywamy półprostymi.
Zadanie:
Podaj, ile różnych prostych przechodzi przez dwa punkty płaszczyzny?

Rozwiązanie: z własności prostej (punkt nr 1 powyżej) wiemy, ze przez dwa różne punkty zawsze przechodzi tylko jedna prosta.
Odpowiedź:
Dokładnie tylko jedna prosta przechodzi przez dwa różne punkty płaszczyzny.

Proste, które leżą na płaszczyźnie, mogą przyjąć różne wzajemne położenie względem siebie:
1 . jeśli proste nie posiadają żadnych punktów wspólnych, a odległości wszystkich punktów leżących na danych prostych jest taka sama, to proste względem siebie są równoległe. Równoległość prostych zapisujemy:

2 . jeśli proste przecinają się pod kątem prostym, czyli 90 stopni to proste względem siebie są prostopadłe. Prostopadłość zapisujemy

3 . jeśli proste posiadają nieskończenie wiele punktów wspólnych, to proste leżą jedna na drugiej, czyli pokrywają się. Zapisujemy to
4 . jeśli proste posiadają tylko jeden punkt wspólny to proste przecinają się.

Półprosta – to taka część prostej, która z jednej strony jest ograniczona punktem należącym do tej prostej, a z drugiej strony jest nieograniczona.

Półprostą można również zdefiniować jako zbiór punktów prostej leżących po jednej stronie pewnego punktu należącego do tej prostej. Ten punkt nazywamy początkiem półprostej. Półprosta, która swój początek ma w punkcie i przechodzi przez punkt nazywamy półprostą .
Własności półprostej:
1 . każdy dowolny punkt , który leży na prostej dzieli ją na połowy, jednocześnie wyznacza na tej prostej dwie półproste o początku w punkcie

2 . półproste te wzajemnie się uzupełniają do prostej, czyli posiadają jeden wspólny punkt
3 . każda półprosta ma punkt początkowy
4 . każda półprosta nie posiada punktu końcowego
5 . dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę na dwa obszary. Każda z tych części płaszczyzny, która zawarta jest pomiędzy dwiema półprostymi o wspólnym początku w punkcie razem z tymi półprostymi tworzą kąt.

Zadanie:
Wskaż trzy zapisy matematyczne opisujące zależności na poniższym rysunku:

Odpowiedź:
1 . prosta ||
2 . prosta ⟂
3 . prosta ⟂

Zadanie:
Sprawdź konstrukcyjnie, czy dwie dowolne proste i przecinające się w punkcie są względem siebie prostopadłe, czyli czy przecinają się pod kątem prostym równym 90°.

Rozwiązanie:
1 . obieramy dwie dowolne proste k i m, które przecinają się w punkcie A
2 . dowolną szerokością cyrkla z punktu A wyznaczamy na prostej m punkty B i C
3 . następnie z zaznaczonych punktów B i C większą szerokością cyrkla niż odcinek AB wyznaczamy łuki, które będą przecinać prostą k w dwóch punktach -powyżej i poniżej punktu A . Punkty przecięcia prostej k z łukami oznaczymy punktami D i E.
4 . jeśli prosta k leży na tych punktach D i E to jest ona prostopadła do prostej m . Oznaczamy to zapisem k ⟂ m.

Całość konstrukcji przedstawiono na rysunku powyżej.