Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Zacznijmy od tego czym jest funkcja kwadratowa.
Wzór funkcji kwadratowej ma postać ogólną: ax2+bx+c.
Niewiadome a, b i c nazywamy współczynnikami tej funkcji.
X natomiast pełni rolę zmiennej tej funkcji.
Przy pojęciu funkcji kwadratowej na myśl przychodzi nam od razu figura kwadrat. Nie bez powodu. Najwyższa potęga przy x to potęga 2.
Jak zapewne już wiecie podniesienie jakiejkolwiek liczby lub niewidomej nazywamy kwadratem. Stąd też to skojarzenie nie jest przypadkowe.
Obrazem funkcji kwadratowej jest parabola. Posiada ona ramiona, które w zależności od wartości współczynnika a znajdującego się przy x2. Rozważmy dwa przypadki:
1.Gdy współczynnik a jest większy od zera (np. 7;1000; 3,2).
Wtedy ramiona paraboli skierowane są w górę i kształtem przypominają literę U.
2.Gdy współczynnik a jest mniejszy od zera (np. -30;-2;-8)

Wzór funkcji kwadratowej możemy przestawić w trzech postaciach: ogólnej (wcześniej już o niej wspominałam), kanonicznej oraz iloczynowej.
Dzisiaj skupimy się na postaci iloczynowej. Wyjaśnimy co potrzeba do jej zapisania i kiedy nam się przyda.
Żeby można było zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej potrzebujemy współczynnik kierunkowy (a), miejsca zerowe tej funkcji.
W jaki sposób zatem znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
Musimy skorzystać z wzoru na deltę Δ=b2-4ac.
W zależności od wartości delty, trójmian kwadratowy (funkcja kwadratowa) może mieć jedno miejsce zerowe (inna nazwa pierwiastek), dwa miejsca zerowe lub ich brak.
Gdy Δ>0, funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe
Gdy Δ<0, funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych
Gdy Δ=0, funkcja kwadratowa ma jedno podwójne miejsce zerowe
Policzmy deltę na konkretnym przykładzie funkcji kwadratowej
a) y= 7x2+5x+2
Na początku wypiszmy współczynniki tej funkcji:
a=7 b=5 c=2
Podstawmy liczby pod wzór na deltę
Δ=b2-4ac=(5)2-4*(5)*(2)= 25-40=-15
DELTA UJEMNA, BRAK MIEJSC ZEROWYCH, BRAK POSTACI ILOCZYNOWEJ
b) y=x2+6x+8
a=1 b=6 c=8
Δ=b2-4ac=(6)2-4*(1)*(8)=36-32=4
DELTA DODATNIA,DWA MIEJSCA ZEROWE
Skoro funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe zastanówmy się jak je obliczyć.
W przypadku delty dodatniej mamy wzory na dwa miejsca zerowe, różniące się jednym znakiem

x1= x2=
W przypadku naszego zadania Δ=4, w takim razie =2
x1== =-4
x2= = =-2

Miejsca zerowe tego trójmianu kwadratowego to x=-4 oraz x=-2.
Mamy już wszystko, żeby zapisać wzór funkcji w postaci iloczynowej, a wygląda on w taki sposób:
y=a(x-x1)(x-x2)
W naszym przypadku a=1
y=1*(x-(-2))(x-(-4))
y=(x+2)(x+4)
Tak wygląda postać iloczynowa.
Każdą postać iloczynową można zamienić w postać ogólną, wystarczy pomnożyć oba nawiasy, a w przypadku, gdy wartość współczynnika „a”, jest różna od 1, pomnożyć także nawiasy przez tą liczbę.
Sprawdźmy czy nasza postać iloczynowa zgadza się z postacią ogólną.
Przypomnijmy jaką mieliśmy postać ogólną funkcji y= x2+6x+8
Pomnóżmy nawiasy i sprawdźmy wynik:
y=(x+2)(x+4)=(x2+4x+2x+8)=x2+6x+8
Postać iloczynowa po wymnożeniu zgadza nam się z postacią ogólną.
c) y=x2+2x+1
a=1 b=2 c=1
Δ=b2-4ac=(2)2-4*(1)*(1)=4-4=0
DELTA RÓWNA 0, JEDNO PODÓWJNE MIEJSCE ZEROWE
W przypadku, gdy delta=0 wzór na miejsca zerowe wygląda:
x0=
x0= = -1
Postać iloczynowa, gdy delta=0 wygląda następująco:
y=a(x-x0)2
W naszym przypadku y=(x-(-1))2=(x+1)2
Postać iloczynowa w naszym przypadku y=(x+1)
d) y=3x2-9x
a=3 b=-9 c=0
Δ=b2-4ac= (-9)2-4*(3)*(0)=81-0=81
=9
x1= = = =0
x2= = = =3
Postać iloczynowa:
y=a(x-x1)(x-x2)
y=3(x-0)(x-3)
W celach sprawdzenia pomnóżmy nawiasy:
y=3(x2-3x-0x+0)
y=3(x2-3x)
y=3x2-9x
Po wymnożeniu postać iloczynowa zgadza się z postacią ogólną.
Czasami możemy spotkać się z odwrotną sytuacją- mamy podaną postać iloczynową, musimy podać postać ogólną.
Rozwiążmy przykładowe zadanie.
Podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wiedząc, że postać iloczynowa ma wzór y=7(x-3)(x+9).
Żeby otrzymać postać ogólną z postaci iloczynowej wystarczy jak pomnożymy nawiasy.
y=7(x2+9x-3x-27)
y=7(x2+6x-27)
y=7x2+42x-189

Mam nadzieję, że zrozumieliście ten temat, a w delcie znajdziecie przyjaciółkę 🙂
Miłej naukii!