Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

1.Niektóre trójmiany kwadratowe możemy zapisać w postaci iloczynowej: a(x-x1)(x-x2), gdzie x1 i x2 to pierwiastki (miejsca zerowe) trójmianu kwadratowego, a „a” jest różne od 0.
2.Nie każda funkcja kwadratowa posiada postać iloczynową. Jest ona charakterystyczna tylko dla tych trójmianów kwadratowych, które mają przynajmniej jedno miejsce zerowe.

Przykład 1:
Sprawdź, czy trójmian kwadratowy y = 2x2-3x+4 możemy zapisać w postaci iloczynowej.
Warunek występowania postaci iloczynowej: 0
= 9 – 4 2 4 = 9 – 32 = -23 <0
Podany trójmian kwadratowy nie może zostać zapisany w postaci iloczynowej, ponieważ nie posiada miejsc zerowych.

Przykład 2:
Przedstaw trójmian kwadratowy y = x2-8x+15 w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.
= 64 – 4 15 = 4
x1 = = 5
x2 = = 3
y = (x-5)(x-3)

Przykład 3:
Przedstaw trójmian kwadratowy o miejscach zerowych x1 = 0, x2 = 6 i zbiorze wartości Zw = <-6, +) w postaci ogólnej.
Krok 1:
Mając podane miejsca zerowe możemy wyznaczyć postać iloczynową funkcji kwadratowej:
y = a(x-x1)(x-x2) = a(x-0)(x-6) = ax(x-6) = a(x2-6x)

Krok 2:
Funkcja kwadratowa jest parzysta, a znając jej miejsca zerowe, możemy wyznaczyć współrzędną xp wierzchołka:
xp = = 3

Krok 3:
Korzystając z własności funkcji kwadratowej, zauważmy, że współrzędna yp = -6, dlatego do wykresu tej funkcji należy punkt W = (3 ; -6). Podstawiając jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w kroku 1 obliczymy wartość współczynnika „a”:
-6 = a (9-18)
a =

Krok 4:
Zapiszmy wzór ogólny tego trójmianu kwadratowego:
y = x2 -4x