Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Wprowadzenie do całek
Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania.
Żeby sprawnie liczyć całki, należy wcześniej dobrze opanować liczeniepochodnych.
Całkę oznaczamy symbolem:
∫
Symbol ten pochodzi od łacińskiego słowaSumma(suma).
Całką funkcjif(x)nazywamy taką funkcjęF(x), że:
F′(x)=f(x)
FunkcjęF(x)spełniającą powyższy warunek nazywa sięfunkcją pierwotną.
Operację całkowania zapisuemy w następujący sposób:
∫f(x)dx=F(x)
Znaczekdxoznacza, że całkujemy funkcjęf(x)po zmiennejx(i tak symbolicznie zamyka operację całkowania). Przy liczeniu prostych całek symboldxna nic nie wpływa, ale należy go pisać ze względów formalnych.
Możemy zatem napisać, że schemat całkowania wygląda następująco:
Całki nieoznaczone – wiedza podstawowa
W tym nagraniu omawiam najprostsze całki nieoznaczone. Pokazuję intuicję jaka stoi za pojęciem całki oraz najważniejsze wzory pozwalające liczyć proste całki.
Czas nagrania:17 min.
Lekcja wideo
Obejrzyj na Youtubie
Przykład 1.
Oblicz całkę funkcjif(x)=2x+7.
Rozwiązanie:
Wykonujemy następujący rachunek:
∫f(x)dx=∫2x+7dx=x2+7x
Sprawdzamy rozwiązanie:
(x2+7x)′=2x+7
Należy jednak zauważyć, że znaleziona przez nas funkcjaF(x)=x2+7xnie jest jedynym dobrym rozwiązaniem. Do powyższej funkcji moglibyśmy dodać jeszcze dowolną liczbę i wówczas otrzymalibyśmy inną dobrą funkcję pierwotną dla funkcjif(x)=2x+7. Na przykład:
(x2+7x+13)′=2x+7
albo:
(x2+7x+100)′=2x+7
Zatem teoretycznie powinniśmy napisać:
∫f(x)dx=∫2x+7dx=x2+7x+C
gdzieC- to dowolna liczba rzeczywista.
Przykład 2.
Oblicz całkę funkcjif(x)=x2.
Rozwiązanie:
Wykonujemy następujący rachunek:
∫f(x)dx=∫x2dx=13×3+C
Sprawdzamy rozwiązanie:
(13×3+C)′=13⋅3×2=x2
Do całkowania prostych funkcji wykorzystujemywzory całkowe, które są również przydatne przy liczeniu całek bardziej skomplikowanych funkcji.

Wzory całkowe wybranych funkcji
∫kdx=kx+C∫xndx=1n+1xn+1+C,n≠−1∫1xdx=ln|x|+C∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C∫cosxdx=sinx+C∫sinxdx=−cosx+C∫tgx=−ln|cosx|+C∫ctgx=ln|sinx|+C∫cosaxdx=1asinax+C∫sinaxdx=−1acosax+C∫1cos2xdx=tanx+C∫1sin2xdx=−cotx+C∫1×2+a2dx=1aarctanxa+C∫1×2−a2dx=12aln∣∣∣x−ax+a∣∣∣+C∫1a2−x2−−−−−−√dx=arcsinxa+C∫1×2+q−−−−−√dx=ln∣∣x+x2+q−−−−−√∣∣+C∫exdx=ex+C∫axdx=axlna+C∫sinhxdx=coshx+C∫coshxdx=sinhx+C∫1sinh2xdx=−cothx+C∫1cosh2xdx=tanhx+C
Poniżej prezentuję te same wzory z dodatkowymi informacjami i przykładami.
Wzór 1
Całka funkcji stałej:
∫kdx=kx+C
Przykład 1:
∫7dx=7x+C
Przykład 2:
∫dx=x+C
Wzór 2
Całka funkcji wielomianowej i potęgowej:
∫xndx=1n+1xn+1+C,n≠−1
Przykład 1:
∫x2dx=13×3+C
Przykład 2:
∫x−5dx=−14x−4+C
Wzór 3
Całka funkcjiy=1x:
∫1xdx=ln|x|+C
Inny zapis:
∫x−1dx=ln|x|+C
Wzór 4
Całka funkcjiy=1ax+b:
∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C
Przykład:
∫12x+5dx=12ln|2x+5|+C
Wzór 5
Całki podstawowych funkcji trygonometrycznych:
∫cosxdx=sinx+C
∫sinxdx=−cosx+C
∫tgx=−ln|cosx|+C
∫ctgx=ln|sinx|+C
Wzór 6
Całka funkcjiy=cosax:
∫cosaxdx=1asinax+C
Przykład:
∫cos3xdx=13sin3x+C
Wzór 7
Całka funkcjiy=sinax:
∫sinaxdx=−1acosax+C
Przykład:
∫sin5xdx=−15cos5x+C
Wzór 8
∫1cos2xdx=tanx+C
Wzór 9
∫1sin2xdx=−cotx+C
Wzór 10
Całka:
∫1×2+a2dx=1aarctanxa+C
Przykład:
∫1×2+4dx=12arctanx2+C
Wzór 11
Całka:
∫1×2−a2dx=12aln∣∣∣x−ax+a∣∣∣+C
Przykład:
∫1×2−9dx=16ln∣∣∣x−3x+3∣∣∣+C
Wzór 12
Całka:
∫1a2−x2−−−−−−√dx=arcsinxa+C
Przykład:
∫116−x2−−−−−−√dx=arcsinx4+C
Wzór 13
Całka:
∫1×2+q−−−−−√dx=ln∣∣x+x2+q−−−−−√∣∣+C
Przykład:
∫1×2+5−−−−−√dx=ln∣∣x+x2+5−−−−−√∣∣+C
Wzór 14
Całka:
∫exdx=ex+C
Wzór 15
Całka:
∫axdx=axlna+C
Przykład:
∫2xdx=2xln2+C
Wzór 16
Całki funkcji hiperbolicznych:
∫sinhxdx=coshx+C
∫coshxdx=sinhx+C
∫1sinh2xdx=−cothx+C
∫1cosh2xdx=tanhx+C