Potęgi

Potęgi – ułatwiają obliczanie powtarzającego się mnożenia.
Potęgowanie to operacja odwrotna do pierwiastkowania.

an = b
gdzie:
a – podstawa potęgi (liczba, którą podnosimy do potęgi)
n – wykładnik potęgi, liczba naturalna większa od 0 (jest to liczba, do potęgi której podnosimy podstawę)
b – wynik potęgi

25 ( czytamy: dwa do potęgi piątej)
34 (czytamy: trzy do potęgi czwartej)
56 (czytamy: pięć do potęgi szóstej)

Potęga o wykładniku naturalnym:
-druga potęga liczby to kwadrat danej liczby, natomiast trzecia potęga liczby to sześcian
-jeśli wykładnik jest parzysty to minus potęgi znika [( ) ( ) ] ,
natomiast gdy wykładnik jest nieparzysty to minus zostaje [( ) ( ) = ]

an = aa ……. a b

22 2 2 4 ( mnożymy liczbę 2 dwa razy przez siebie )
23 = 2 2 2 = 8 ( mnożymy liczbę 2 trzy razy przez siebie )
(-3)4 (-3) (-3) (-3) (-3) 8 ( mnożymy liczbę -3 cztery razy przez siebie)
45 4 4 4 4 4 1024 ( mnożymy liczbę 4 pięć razy przez siebie )
(-12)3 (-12) (-12) (-12) (-1728) ( mnożymy liczbę -12 trzy razy przez siebie)
(4x)4 = 4x 4x 4x 4x ( mnożymy liczbę 4x cztery razy przez siebie)
(3x-6)3 (3x-6)3 (3x-6)3 (3x-6)3 (mnożymy równanie (3x-6) trzy razy przez siebie )

Jeżeli podniesiemy dowolną liczbę do potęgi 0 to zawsze otrzymamy 1.

a0 = 1

30 = 1 (czytamy: 3 do potęgi 0 jest równe 1)
(-2)0 1 (czytamy: -2 do potęgi 0 jest równe 1)
4040 1 (czytamy: 404 do potęgi 0 jest równe 1)
(-257)0 1 (czytamy -257 do potęgi 0 jest równe 1)

00 – taka potęga nie istnieję !

Jeżeli podniesiemy dowolną liczbę do potęgi 1 to zawsze otrzymamy liczbę, która stanowi podstawę potęgi.

a1 = a

31 = 3 (czytamy: 3 do potęgi 1 jest równe 3)
(-2)1 (-2) (czytamy: -2 do potęgi 1 jest równe 1)
4561 456 (czytamy: 456 do potęgi 1 jest równe 456)
(-2000)1 (-2000) (czytamy: -2000 do potęgo 1 jest równe -2000)

Potęga o wykładniku ujemnym ( polega na odwróceniu liczby, która jest potęgowana)
Gdy ułamek podnosimy do potęgi o wykładniku ujemnym również go odwracamy.

a-n ,

2-2 (czytamy: 2 do potęgi -2 jest równe )

5-4 (czytamy: 5 do potęgi -4 jest równe )

32-2 (czytamy: 32 do potęgi -2 jest równe

(czytamy: do potęgi -3 jest równe )

Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim i ujemnym (polega na zapisaniu potęgi za pomocą pierwiastka: mianownik wykładnika potęgi będzie stopieniem pierwiastka, a licznik będzie potęgą powstałego pierwiastka, w przypadku potęgi o wykładniku wymiernym ujemnym należy odwrócić podstawę potęgi, a następnie spierwiastkować powstałą liczbę)

-podstawa musi być liczbą dodatnią!
-jeżeli pierwiastek jest drugiego stopnia to nie zapisujemy stopnia pierwiastka

,

(czytamy: 4 do potęgi jest równe )

(czytamy: 36 do potęgi jest równe )

(czytamy: 250 do potęgi jest równe )

(czytamy: 24 do potęgi jest równe )

Twierdzenie na potęgach:

1) wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach (polega na dodawaniu wykładników, podstawę potęgi przepisujemy, a następnie dodajemy wykładniki):

an am an m

Przykłady:

a) 84 162 (23)4 (24)2 212 28 220
b) 253 6255 (52)3 (54)5 56 520 526
c) 2162 364 (63)2 (62)4 66 68 614

d)

e)

2) wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach (polega na odejmowaniu wykładników, podstawę potęgi przepisujemy, a następnie odejmujemy wykładniki):

an : am an m

Przykłady:

a) 273 : 94 (33)3 : (32)4 39 : 38 31 3
b) 644 : 1282 (26)4 : (27)2 224 : 214 210
c) 6253 : 1254 (54)3 : (53)4 512 : 512 50 1

d) : :

e) :

3) wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach (polega na mnożeniu podstaw potęgi, mnożymy podstawy potęgi i sprowadzamy je do jednego, tego samego wykładnika):

an bn (a b)n

Przykłady:

a) 122 62 (12 6)2 722 5184
b) 54 34 (5 3)4 154 50625
c) 23 43 (2 4)3 83 512
d) 4505 0,25 ( 450 0,2)5 185 1889568

e) ( )6 ( )6

4) wzór na iloraz potęg o tych wykładnikach (polega na dzieleniu podstaw potęgi, dzielimy podstawy potęgi i sprowadzamy je do jednego, tego samego wykładnika):

an : bn (a : b)n

Przykłady:

a) 363 : 63 (36 : 6)3 63 216
b) 82 : 22 (8 : 2)2 42 16
c) 644 : 164 (64 : 16)4 256

d) : 2162 : 0,22 ( : 216 : 0,2)2 1802 32400

e) : ( )6 ( )6 26 64

5) wzór na potęgę potęgi (polega na mnożeniu wykładników potęgi, przepisujemy podstawę potegi, a następnie mnożymy wykładniki):

(an)m an m

Przykłady:

a) (23)2 23 2 26 64
b) (34)5 34 5 320
c) ((53)6)2 53 6 2 536
d) (42)5 (52)5 410 510 (4 5)10 2010

e)

Suma oraz różnica potęg o tej samej podstawie (niema wzorów na dodawanie i odejmowanie potęg, takie działanie rozwiązuje się poprzez wyłączanie wspólnego najniższego czynnika przed nawias):

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias jest możliwe tylko wtedy gdy mamy potęgi o tej samej podstawie!

Oto kilka przykładów:

a) 322-16 28 36 28 20142

b) 42 45 46 43 42(1 43 44 41) 42(1 64 256 4) 42 317 16 317 5072

c) 25442 15 212 15 4096 15 61440

Przykładowe działania zawierające potęgi:

a) 24 22 25 211
b) 24 22 25 22 ( 22 1 23) 22 ( 4 1 8) 22 13
c) 64 256 43 44 47
d) (273 729)2 : 813 [(33)3 36]2 : (34)3 (39 36)2 : 312 (315)2 : 312 330 : 312 318

e) (-0,16)2 (-2,5)2 6 (-0,16)2 [(-0,4)2]2 (6,25)2 6 [(-0,4)2]2 (-0,4)4 (-6,25)2 6 (-0,4)4 (-0,0256) (-6,25)2 6 (-0,0256) (-0,0256) (-6,25) (-0,1536) (-0,0256) 6,25 0,1536 6,378

f)

Równania zawierające potęge:

a)
24 x 22 x 82 : 0,2 – 25 x
22x 25x 24x 64 : 0,2
22x(1 23 22 ) 320
22x (1 8 4) 320
22x 13 320

x 13 80 13 1040

b)
53 x 55 x ( 52) x 53
52 x 53 x 55 x 53
52x( 1 5 53 ) 125
52x 131 125
x 131 5 131 655

c)
28 34 x 82 32 x
32 x 34 x 82 28
32x( 1 32 ) 54
32 x 10 54
x 10 6 10 = 60