Potęgi i pierwiastki

Potęgi i pierwiastki

Pierwiastek oznaczamy symbolem
Pierwiastek n-tego stopnia:
-jeśli n jest liczbą parzystą, to dla dowolnej liczby nieujemnej a: , gdy
-jeśli n jest liczbą nieparzystą, to dla dowolnej liczby rzeczywistej a: , gdy

Pierwiastek kwadratowy – inaczej pierwiastek drugiego stopnia:
, gdy i
Wynikiem pierwiastka kwadratowego (i każdego pierwiastka parzystego stopnia) jest zawsze liczba nieujemna, podobnie jak pod pierwiastkiem kwadratowym (i każdym pierwiastkiem parzystego stopnia) stoi też liczba nieujemna.

Dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest równość:
, czyli gdy lub gdy

Dla każdej liczby nieujemnej prawdziwe są wzory na pierwiastek iloczynu i ilorazu:

Pierwiastek sześcienny – inaczej pierwiastek trzeciego stopnia:
, gdy
W przeciwieństwie do definicji pierwiastka kwadratowego, definicję pierwiastka sześciennego można rozszerzyć na liczby ujemne.

Potęga o wykładniku całkowitym:
Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej a definiujemy jej n-tą potęgę:
, gdzie pojawia się razy
– podstawa potęgi
– wykładnik potęgi

Ważne jest również, aby pamiętać, że:
oraz dla

Dla liczby naturalnej i dla liczby ≠ :

Potęga o wykładniku wymiernym:
Dla dowolnej liczby i >:

Dla dowolnej liczby a>0, liczby naturalnej n>1 i liczby całkowitej m:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych m, n oraz jeśli a>0 i b>0, to:

Przykładowe zadanie:
Oblicz:
a)
b)
c)
d)
Rozwiązanie:
a)
b)
c)
d)

Przykładowe zadanie:
Zapisz w postaci jednej potęgi:
a)
b)
c)
d) 3
Rozwiązanie:
a)
b)
c)
d)

Przykładowe zadanie:
Uzasadnij że liczba 3 3 jest liczbą naturalną.
Rozwiązanie:
33 = 3

Przykładowe zadanie:
Oblicz
Rozwiązanie:

Przykładowe zadanie:
Zapisz liczbę w postaci jednej potęgi, gdzie podstawa potęgi jest liczbą naturalną, a wykładnik potęgi – liczbą wymierną.
Rozwiązanie: