Prawo Bernoulliego

Prawo Bernoulliego

Sformułowane przez szwajcarskiego matematyka – Jakoba Bernoulliego, które obecnie brzmi tak:

„Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie prób częstotliwość danego zdarzenia losowego będzie dowolnie mało się różniła od jego prawdopodobieństwa”.

Twierdzenie zostało opisane wzorem:

gdzie Sn oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego, n prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p.

Wydane pośmiertnie w roku 1713 w Bazylei w pracy po tytułem „Ars Conjectandi” tłumaczone na język polski jako Sztuka przewidywania, która składała się z czterech części.

W ostatniej części zostało zamieszczone najstarsze prawo wielkich liczb, ze względu na jego wagę nazwane przez autora złotym.

Prawo to należy do granicznych teorii prawdopodobieństwa. Ogromne znaczenie tych praw polega na zastosowaniu ich do opisywania zjawisk przyrodniczych i społecznych.

Oryginalnie twierdzenie miało brzmienie:

„niech liczba przypadków sprzyjających ma się do liczby niesprzyjających, dokładnie lub w przybliżeniu, jak r do s, albo do liczby wszystkich przypadków jak r do r + s, albo r do t, który to stosunek zawiera się w granicach (r+1)/t i(r-1)/t. Należ wskazać, że można wziąć tyle prób, by dowolnie daną liczbę razy (c razy) prawdopodobniejsze było, że liczba obserwacji sprzyjających wypadnie w tych granicach, niż poza nimi, tzn. że stosunek liczby obserwujących sprzyjających będzie nie większa niż (r+1)/t i nie mniejsza niż (r-1)/t.”

Praca „Ars Conjectandi” oraz zawarte w niej „prawo wielkich liczb”, wywarło ogromny wpływ na wielu uczonych. Jednym z nich był Abraham de Moirre (1667-1754). W roku 1835 francuski naukowiec Simeon Denis Poisson opisał je pod nazwą „prawo wielkich liczb”.

Jest to historycznie pierwsze i najprostsze prawo wielkich liczb.

Analiza podstawy teorii wielkich liczb rozpoczyna się od schematu Beurnoulliego.

Jeżeli powtarzamy jakieś doświadczenie losowe a wynik tego doświadczenia nie zależy od poprzednich, to taki doświadczenie nazywa się niezależnym. Takimi doświadczeniami niezależnymi są rzut kostką lub monetą, ale także np. płeć nowo narodzonego dziecka, czas żarzenia się nowej świetlówki, ilość zapałek w pudełku itp. Jeśli każde doświadczenie w takiej serii daje interesujący wynik, matematycznie nazywa się to sukces z tym samym prawdopodobieństwem, tu mamy do czynienia z tzw. schematem Bernoulliego zdarzeń niezależnych, ponieważ pierwszy znalazł jego podstawową formułę.

Jeżeli p jest prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczym doświadczeniu, to prawdopodobieństwo k sukcesów w serii n niezależnych doświadczeń jest równe:

Odpowiedź na to pytanie daje pierwsze z tzw. praw wielkich liczb.

Tak zostały ustalone podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa, na których – z dużym nakładem pomysłowości rozwinęła się współczesna teoria prawdopodobieństwa. Można powiedzieć, że dzięki tym wysiłkom przypadek jest ujarzmiany, a jego badanie przynosi owoce dla naszej wiedzy o świecie.