Prawo de Morgana

Prawo de Morgana
Prawo Dde Morgana składa się z pary reguł transformacji w algebrze Boole’a, które są używane do powiązania przecięcia i sumy zbiorów przez dopełnienia. Prawo de Morgana określa dwa warunki. Te warunki są używane głównie do redukowania wyrażeń do prostszej formy. Zwiększa to łatwość wykonywania obliczeń i rozwiązywania złożonych wyrażeń logicznych.
Zgodnie z prawem de Morgana dopełnienie sumy dwóch zbiorów będzie równe przecięciu ich indywidualnych dopełnień. Dodatkowo dopełnienie przecięcia dwóch zbiorów będzie równe sumie ich indywidualnych dopełnień. Prawa te można łatwo zwizualizować za pomocą diagramów Venna.

Czym jest prawo de Morgana?
Prawa de Morgana to zbiór dwóch postulatów szeroko stosowanych w teorii mnogości. Kiedy mamy kolekcję dobrze zdefiniowanych odrębnych obiektów, które tworzą grupę, ta kolekcja jest znana jako zestaw. Jeśli chcemy uprościć operacje na zbiorach, takie jak przyjmowanie dopełnienia, sumy i przecięcia zbiorów, to używamy praw De Morgana.

Prawo de Morgana może być używane w algebrze Boole’a, a także w teorii mnogości w celu uproszczenia wyrażeń matematycznych. Załóżmy, że mamy dwa zbiory A i B, które są podzbiorami zbioru uniwersalnego U. A’ jest uzupełnieniem zbioru A, a B’ jest uzupełnieniem zbioru B. '∩’ jest symbolem przecięcia, a '∪’ służy do oznaczenia sumy zbiorów. Następnie prawa De Morgana są podane poniżej.

Pierwsze prawo de Morgana
Dopełnienie sumy dwóch zbiorów A i B będzie równe przecięciu A’ (uzupełnienie A) i B’ (uzupełnienie B).
Załóżmy, że mamy n zbiorów danych {A1,A2,…,An} to wzór jest wyrażony:

Drugie prawo de Morgana
Dopełnienie przecięcia A i B będzie równe sumie A’ i B’. Można to wyrazić wzorem:

Podobnie jak wyżej to prawo można uogólnić wzorem:

Przykład
Zrozummy prawo De Morgana na prostym przykładzie.
Zbiór uniwersalny U = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }.
Dane są dwa podzbiory: A = {11, 12, 13} i B = {7, 8}.

Pierwsze prawo de Morgana
(A ∪ B) = {7, 8, 11, 12, 13}, (A ∪ B)’ = {9, 10}
A’ = {7, 8, 9, 10} i B’ = {9, 10, 11, 12, 13}
A’ ∩ B’ = {9, 10}
Zatem (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Drugie prawo de Morgana
(A ∩ B) = ∅, (A ∩ B)’ = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }
A’ ∪ B’ = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
Stąd (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’