Procent

Dzisiaj zajmiemy się procentami. Skąd wzięła się ta nazwa? Jak wiele ważnych wyrażeń z naszego życia pochodzi z łaciny. Po łacinie wyrażenie „per centum” oznacza nic innego jak po polsku „na sto”. W takim razie już wiemy, skąd pochodzi ta nazwa.

Generalnie rzecz ujmując jeżeli chcemy zapisać jeden procent, to powinniśmy zapisać go o tak: . Jeden procent jest odpowiednikiem setnej części z całości.

Jak się już pewnie domyślasz, procenty możemy zapisać na trzy metody. Możemy zostawić je z procentem ( % ), możemy zamienić je na ułamki zwykłe, lub też możemy je wyrazić przy pomocy ułamków dziesiętnych. Spróbujmy teraz pokazać sobie te procenty w trzech postaciach:

Na podstawie tej zależności bez problemu będziemy mogli wykonywać i te łatwiejsze i te trudniejsze zadania matematyczne.

Spróbujmy wykonać pierwsze zadanie

Ćwiczenie.
23% Polaków deklaruje, że ich oczy są niebieskie. Zapisz tę liczbę w innej postaci. Postać ta może być wyrażona słownie oraz liczbowo.

I sposób rozwiązania ćwiczenia

Skoro 23% Polaków mówi, że ma niebieskie oczy, to oznacza, że w grupie 100 Polaków (przeciętnie) znajdzie się równo 23 takich, którzy mają oczy koloru niebieskiego.

II sposób rozwiązania ćwiczenia

Innymi słowy, całej grupy, którą stanowią Polacy, to Polacy o niebieskich oczach.

III sposób rozwiązania ćwiczenia

Innymi słowy, całej grupy, którą stanowią Polacy, to Polacy o niebieskich oczach.

Podsumowując, tę samą wartość (procent) przedstawiliśmy aż trzema metodami.

Ćwiczenie numer 2
Przelicz podane procenty na dwa rodzaje ułamków:

1)

2)

3)

Pamiętaj o tym, że gdy zamieniasz procenty na ułamki zwykłe to mogą zdarzyć się sytuacje, w których powstaną ułamki skracalne, a więc takie, które można skrócić. W takim wypadku skracamy, otrzymując ułamek, który łatwiej będzie nam użyć w późniejszych obliczeniach.

Spróbujmy policzyć kilka zadań związanych z zamianą ułamka zwykłego na procent. Jak takie zadania się rozwiązuje? Każdy ułamek zwykły przedstawiamy w takiej postaci, aby jego nowy mianownik wynosił 100. W zależności ile razy zmniejszyliśmy/zwiększyliśmy pierwszy mianownik względem mianownika 100, tyle razy musimy zmniejszyć/zwiększyć licznik starego ułamka, aby otrzymać ułamek postaci . Gdy mamy ułamek tej postaci otrzymujemy wynik, że ten ułamek to nic innego jak x%.

Jeśli jednak nie polubisz tej metody, każdy ułamek, który chcesz przedstawić za pomocą procentów, możesz pomnożyć przez 100%. Tym samym również szybko otrzymujesz szukany wynik.

Jak widzisz, tutaj 100% mnożymy razy licznik, otrzymując ułamek skracalny. Następnie skracamy go (i/lub wyciągamy całości) i otrzymujemy wynik.

Tak samo możemy postępować zamieniając w drugą stronę, a więc zamieniając procenty na ułamki. Jest to bardzo proste. Zacznijmy od ułamków zwykłych. Gdy chcemy zamienić procent na ułamek zawsze w mianowniku piszemy 100. W liczniku zapisujemy tę liczbę, jaka była zapisana jako liczba procentów. Każdorazowo pamiętajmy, że ułamek powinniśmy skrócić do postaci nieskracalnej. Oczywiście pamiętamy, że 100% to 1.

Przy zamianie procentów na ułamki dziesiętne będziemy postępować analogicznie jak powyżej. Tyle tylko, że tutaj zauważamy, że tyle ile mamy procent, to jest to dana część ze stu. Tym samym zauważ, że mając podany procent możemy przesunąć przecinek o dwa miejsca w lewo. Tym samym otrzymujemy podany wynik. Spójrz na poniższe przykłady.

Jak widzisz, w każdym z przykładów postępujemy analogicznie, pamiętając, że procenty to x z setnych części.

Jak wiesz, w życiu codziennym często spotykamy się z promocjami. To właśnie na procentach opierają się one. Dzięki ich znajomości bez problemu zawsze będziemy mogli sprawdzić, o ile procent dany produkt został przeceniony znając np. jego starą i nową cene.

zadanie 1
Liczba 15 stanowi jaki procent liczby 60 oraz liczba 60 stanowi jaki procent liczby 15.

Zacznijmy od pierwszej części zadania. Jak widzimy, naszą całością (mianownikiem) w tej części zadania jest 60. Jesteśmy pytani, jak w procentach wygląda stosunek liczby 15 do 60. Innymi słowy, takie zadanie możemy rozwiązać patrząc na ten schemat: , tym „coś” jest u nas 15, a „z czegoś” to u nas 60.

W drugiej części zadania postępujemy analogicznie, lecz nasze wartości się zamieniają.

zadanie 2
Ala pracowała przez całe wakacje i zarobiła 1800zł. Postanowiła, że za 10% tej kwoty kupi sobie ubrania. Jaką kwotę Ala przeznaczyła na zakup ubrań?

Rozwiązanie takiego zadania rozpoczynamy od ustalenia, co musimy obliczyć. Jak widzisz, chcemy dowiedzieć się ile stanowi 10% z kwoty 1800. Przechodzimy więc do napisania działania. Procenty później będziemy zamieniać na ułamek zwykły bądź dziesiętny.

Odpowiedź: Ala na ubrania przeznaczyła 180 zł.

zadanie 3
Podaj liczbę, której 10% to 15.

I sposób rozwiązania zadania

x – liczba przez nas szukana

Pierwszym sposobem rozwiązania takiego zadania jest ułożenie równania, w którym szukana liczba pomnożona przez 10% da nam 15. I takie równanie liniowe należy rozwiązać.

zapisujemy równanie

zamieniamy procent na ułamek

obustronnie dzielimy przez współczynnik przy x, a więc dzielimy przez 0,1 lub też mnożymy razy 10

otrzymujemy wynik

II sposób rozwiązania zadania

Drugi sposób rozwiązania takiego zadania to utworzenie proporcji. Należy zwrócić szczególną uwagę na to, aby procenty były w jednej kolumnie, a liczby oraz niewiadome liczby były po drugiej stronie. Procenty mają być pod procentami, a liczby pod liczbami. Dlatego tak ważne aby wiedzieć, czym jest szukany przez nas x.

x – szukana przez nas liczba

10% —-> 15
100% –> x

Będziemy przemnażać na krzyż, a więc otrzymamy równanie:

W związku, że mamy mnożenie procenty możemy sobie skrócić. Następnie dzielimy obustronnie przez współczynnik przy x, a więc przez 10. Następnie otrzymujemy gotowy wynik.

Odpowiedź: Szukana przez nas liczba to 150.