Promień

Promień
Wstęp:
W tym wypracowaniu dowiesz się co to jest promień koła i okręgu oraz kuli. Poznasz też wzory i definicje związane z tym zagadnieniem oraz zrobisz zadania dotyczące tego tematu.
Koło i okrąg:
Zacznę od tego, czym jest koło. Koło jest zbiorem punktów odległych o odległość równą lub mniejszą niż promień tego koła od danego punktu. Ten punkt nazywamy środkiem koła, ponieważ leży on w środku tego koła. Koło można też nazwać figurą płaską, która jest ograniczona przez pewien okrąg, który jest również brzegiem i obwodem tego koła.
Natomiast okrąg jest zbiorem punktów odległych od danego punktu o równą odległość. Dany punkt nazywamy środkiem danego okręgu, a tę odległość nazywamy promieniem tego okręgu. Każdy okrąg jest brzegiem i obwodem pewnego koła.
Cięciwa koła jest dowolnym odcinkiem, którego końce leżą na jego brzegu, natomiast cięciwa okręgu jest dowolnym odcinkiem, którego końce leżą na danym okręgu.
Średnica koła lub okręgu jest jego najdłuższą cięciwą, czyli taką, która przechodzi przez jego środek.
kołem otwartym nazywamy w matematyce takie koło, które nie ma brzegu, czyli nie ogranicza jego żaden okrąg. Natomiast zwykłe koło ograniczone przez okrąg nazywamy kołem domkniętym.
Łuk okręgu jest to część okręgu, która jest wyznaczona przez ramiona kąta środkowego tego okręgu.
Promień koła i okręgu:
Promień w kole i okręgu jest odcinkiem lub długością odcinka, który łączy środek tej figury z dowolnym punktem położonym na jego brzegu. Promień ten w obu figurach jest połową średnicy, czyli odcinka łączącego dwa najbardziej od siebie odległe punkty leżące na brzegu danego koła lub okręgu. W obu figurach wzór na promień wygląda tak samo:
r = d : 2, gdzie r to długość promienia, a d jest długością średnicy danej figury.
Inne wzory:
Wzór na pole powierzchni koła:
S = πr2, gdzie π to liczba pi, a r jest promieniem tego koła.
Wzór na obwód koła lub okręgu:
L = 2πr, gdzie π jest liczbą pi, natomiast jako r jest oznaczony promień danej figury.
Wzory na długość łuku okręgu:
d = *r, gdzie r to promień tego okręgu, a to miara kąta środkowego wyrażona w radianach, którego ramiona wyznaczają dany łuk.
d = r, gdzie to miara kąta środkowego wyrażona w stopniach, którego ramiona wyznaczają ten łuk.
Liczba pi:
Liczba pi inaczej nazywana również stałą Archimedesa jest oznaczana jako π. Jest ona równa stosunkowi obwodu koła do długości jego średnicy. Jest ona liczbą stałą, czyli zawsze ma taką samą wartość, ponieważ każde dwa koła są wzajemnie podobne. Najczęściej w matematyce przedstawia się liczbę pi w przybliżeniu jako 3,14, natomiast wartość tej liczby z większą dokładnością – do 200 miejsca po przecinku jest równa:
π=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
Liczbę pi wykorzystuje się między innymi we wzorach na pole i obwód koła oraz okręgu i objętość kuli.
Kula:
Kula jest bryłą powstałą, poprzez obrót dowolnego koła wokół jego średnicy. Jej powierzchnię nazywamy sferą.
Wzór na objętość kuli:
V = πr3, gdzie r jest promieniem danej kuli.
Wzór na pole powierzchni całkowitej kuli:
P = 4πr2, gdzie r jest promieniem danej kuli.
Średnica kuli jest cięciwą, która przechodzi przez je środek. Promień kuli natomiast jest jej połową, więc jego wzór jest taki sam jak w kole i okręgu, czyli:
r = d : 2, gdzie r jest promieniem, a d średnicą danej kuli.

przykład 1
Oblicz długość promienia okręgu, wiedząc że pole koła, którego dany okrąg jest brzegiem jest równe 225π.
Rozwiązanie:
Wiemy, że wzór na pole koła to:
P = πr2, podstawiamy dane;
225π = πr2, dzielimy przez π;
225 = r2, wyciągamy pierwiastek;
r = 15, jest to promień koła, a wiemy, że jest on równy promieniowi tego okręgu.
odp. Długość promienia okręgu wynosi 15.

przykład 2
Oblicz długość promienia koła, wiedząc że obwód okręgu, który jest jego brzegiem wynosi 420π.
Rozwiązanie:
Wiemy, że wzór na obwód okręgu to:
L = 2πr, podstawiamy dane;
420π = 2πr, dzielimy przez π;
2r = 420, dzielimy przez 2;
r = 210, wiemy że promień tego koła jest równy temu.
odp. Długość promienia tego koła wynosi 210.

przykład 3
Oblicz długość promienia koła, wiedząc że długość łuku okręgu wyznaczonego przez ramiona kąta środkowego o mierze 50 radianów wynosi 1,225 m.
Rozwiązanie:
Wiemy, że wzór na długość łuku okręgu to:
d = *r, podstawiamy dane:
1,225 m = 50*r, zamieniamy metry na centymetry;
1225 cm = 50r, dzielimy przez 50;
1225 cm : 50 = r
r = 24,5 cm
odp. Długość tego łuku wynosi 24,5 cm.

przykład 4
Oblicz długość promienia okręgu, wiedząc że długość łuku tego okręgu wyznaczonego przez ramiona kąta środkowego o mierze 12 stopni wynosi 19,2 dm.
Rozwiązanie:
Wiemy, że wzór na długość promienia okręgu to:
d = r, podstawiamy dane;
19,2 dm = *12°*r, zamieniamy decymetry na centymetry;
192 cm = *12°*r, dzielimy przez 12;
16 cm = *r, dzielimy przez ;
r = 16 cm : , wiemy że 2π jest równe 360°, więc;
r = 16cm : 1
r = 16 cm
odp. Długość promienia tego okręgu wynosi 16 cm.