Prosta prostopadła

Prosta prostopadła – proste są prostopadłe, gdy tworzą przystające kąty przyległe. Jeżeli dwie proste są względem siebie prostopadłe, to tworzą one kąt prosty, czyli kąt o mierze 90°. Prosta jest nazywana prostopadłą do prostej , jeśli prosta jest osią symetrii prostej i jest od niej różna. Dla dowolnej prostej i dowolnego punktu istnieje tylko jedna prosta przechodząca przez punkt , która jednocześnie jest prostopadła do prostej . Zostało to zilustrowane poniżej:

Prostopadłość to relacja nie tylko między prostymi, ale również między dwiema płaszczyznami, między prostą i płaszczyzną, pomiędzy parą wektorów. Oznacza się ją znakiem prostopadłości: .

Własności prostych prostopadłych:

1 . jeżeli są dwie proste względem siebie równoległe, a jednocześnie jedna z nich jest prostopadła do trzeciej prostej, to i ta druga prosta równoległa jest prostopadła do tej trzeciej prostej
2 . jeśli dwie proste przecinają się, to proste prostopadłe do tych prostych również się przecinają
3 . jeśli jedna z dwóch prostych jest prostopadła do trzeciej prostej, a druga prosta nie jest prostopadła do tej trzeciej prostej, to te dwie proste nie są względem siebie równoległe.
4 . dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe, jeśli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus.
Powyższa własność jest równaniem prostej prostopadłej. Można ją zapisać i zilustrować w następujący sposób:

W geometrii analitycznej ,w układzie współrzędnych (kartezjańskim) powyższe równanie prostej prostopadłej tłumaczy się w podobny sposób. Dowolne dwie proste na płaszczyźnie często zapisywane są za pomocą równań:
oraz
Są one prostopadłe względem siebie, wtedy i tylko wtedy, gdy

Wielkości oraz nazywają się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości jest spełniony wtedy, gdy zachodzi zależność:

Równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu która przechodzi przez punkt ma postać:

Przykład:
Czy dwie poniższe proste są względem siebie prostopadłe?
1 .
2 .

Odpowiedź: tak – obie powyższe proste są względem siebie prostopadłe, ponieważ zachodzi warunek równania prostej prostopadłej.

Zadanie:
Wskaż parametr , który spełnia równanie prostej prostopadłej poniżej wskazanych prostych, które zostały opisane następującymi równaniami:
1 .

2 .

A . m=2
B . m=1/2
C . m=1/3
D . m=-2

Rozwiązanie: należy wykonać obliczenia, czyli sprawdzić, czy współczynnik kierunkowy jednej prostej, jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus. Należy pamiętać, że do sprawdzenia, czy proste są prostopadłe potrzebujemy tylko współczynników kierunkowych, czyli tego co znajduje się przy x:

Odpowiedź: prawidłową odpowiedzią jest C.

Inną metodą sprawdzenia, czy dwie proste, które zapisane są równaniem ogólnym są prostopadłe polega na spełnieniu warunku:

Prosta nr 1:

Prosta nr 2:

Musi zostać spełniony warunek:

Przykład:
dwie proste: oraz są prostopadłe, ponieważ został spełniony warunek:

Powyższy warunek został spełniony, a więc proste są prostopadłe.