Proste równoległe

Kiedy proste nazywamy równoległymi?
Proste są równoległe, gdy nigdy się nie przetną (nie mają punktów wspólnych)

Jak sprawdzić czy proste są równoległe?
Aby sprawdzić czy proste są na pewno równoległe musimy znać równanie tych prostych w postaci:
y= ax+ b , gdzie:
a- jest to współczynnik kierunkowy,
b- wyraz wolny.
Proste są równoległe jeśli mają równy współczynnik kierunkowy- a.
Dla prostych
k: y= a1x + b1
l: y= a2x + b2
O prostych k i l możemy powiedzieć, że są równoległe jeśli:
a1= a2
Aby zapisać krócej, że proste k i l są równoległe używamy symbolu ||.
k || l
Ten zapis czytamy jako: prosta k jest równoległa do prostej l lub: proste k i l są równoległe.

Ćwiczenie.
Które z prostych są równoległe do prostej k o równaniu: y= x +3:
A. m: y= 2x+ 3
B. l: 2y= 2x+ 9
C. n: y= x+ 420
D. A(1, 2), B(2, 3)
Rozwiązanie:
Aby proste były do siebie równoległe muszą mieć taki sam współczynnik kierunkowy- a. Współczynnik ten ma w wartość 1 w równaniu prostej k, ponieważ jeśli nie ma nic przed x to wtedy jest tam niewidoczna jedynka która możemy sobie dopisać, dla ułatwienia.
y= 1x +3
Każda prosta o współczynniku kierunkowym równym jeden (a= 1) jest równoległa do tej prostej, sprawdzamy współczynniki kierunkowe każdej z prostych (m, l, n, j) i porównujemy go do współczynnika kierunkowego prostej k:
A. m: y= 2x+ 3
Współczynnik kierunkowy tej prostej to a= 2
2≠ 1
Z tego wynika, że prosta m nie jest równoległa do prostej k.
(proste k i m nie są równoległe)
B. l: 2y= 2x+ 9
Możemy zauważyć, że w równaniu tej prostej przy y „stoi dwójka” , więc musimy to równanie podzielić na dwa aby było w postaci y= ax+ b:
2y= 2x+ 9 /: 2
y= x+ 4,5
Współczynnik kierunkowy tej prostej to a= 1
1= 1
Z tego wynika, że prosta l jest równoległa do prostej k.
k || l
C. n: y= x+ 420
W równaniu tej prostej możemy od razu odczytać współczynnik kierunkowy:
a= 1
1= 1
k || n
D. A(1, 2), B(2, 3)
W tym podpunkcie musimy obliczyć równanie prostej j, rozwiązując układ równań, który powstaje poprzez podstawienie pod x i y dla równania ogólnego prostej y= ax+ b wartości punktów A i B.

Rozwiązujemy ten układ metoda przeciwnych współczynników:

a= 1
Niewiadomej b nie musimy liczyć bo aby sprawdzić czy proste są równoległe wystarczy policzyć współczynnik kierunkowy prostej.
1= 1
Więc:
k || j
Odpowiedź: Do prostej k są równoległe proste: l, n, j (podpunkty BCD).

Innym sposobem na sprawdzenie czy proste są równoległe, jest wyznaczenie równań prostych o wzorach ogólnych:
A1x+B1y+C1= 0
A2x+B2y+C1= 0
Proste te są równoległe, gdy:
A1B1– A2B2= 0

Ćwiczenie.
Sprawdź, czy proste 1x-2y+2= 0 i x- y+ 1= 0 są równoległe:

Rozwiązanie:
Aby sprawdzić czy proste te są równoległe podstawiamy dane z równań do wzoru:
A1B1– A2B2= 0
1* (-2)- 1*(-1)=-2- 1= -3
-3 ≠ 0
Więc proste te nie są równoległe.

Proste równoległe przecięte inną- trzecią prostą i utworzone przez nie kąty odpowiadające sobie są równe, jak pokazano na obrazku poniżej:

Na powyższym obrazku czarne proste są do siebie równoległe przecięte przez trzecią prostą (zaznaczoną na czerwono), a odpowiednie kąty zaznaczone na ten sam kolor mają równe miary.