Przekątna prostokąta

Przekątna prostokąta

W tym opracowaniu dowiesz się:

Czym jest przekątna prostokąta.
Czym jest Twierdzenie Pitagorasa.
W jaki sposób obliczać długość przekątnej prostokąta.

1. Czym jest przekątna prostokąta?

Przekątna prostokąta jest to odcinek znajdujący się wewnątrz prostokąta który wychodzi z 2 znajdujących się na ukos od siebie wierzchołków.
Prostokąt posiada 2 przekątne, ponieważ posiada dwie pary znajdujących się na ukos od siebie wierzchołków. Przekątne te są tej samej długości oraz przecinają się w połowie. Przekątna prostokąta dzieli go na 2 identyczne trójkąty prostokątne, natomiast dwie przekątne dzielą go na dwie pary identycznych trójkątów równoramiennych. Przekątną oznaczamy literą d.

2. Czym jest Twierdzenie Pitagorasa?

Twierdzenie Pitagorasa jest to twierdzenie dotyczące trójkąta prostokątnego, a dokładniej mówiąc jest to twierdzenie mówiące o zależności jaka zachodzi między przyprostokątnymi trójkąta (boki znajdujące się przy kącie prostym), a przeciwprostokątną trójkąta (bok znajdujący się naprzeciw kąta prostego).

Twierdzenie Pitagorasa dokładni brzmi następująco:

Suma kwadratów przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Twierdzenie Pitagorasa można również zapisać w sposób graficzny a wygląda on następująco:

a – przyprostokątna trójkąta prostokątnego
b – przyprostokątna trójkąta prostokątnego
c – przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego

Poniżej przedstawię dwa przykłady dzięki którym prostsze będzie zrozumienie Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład 1:

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, jeśli przyprostokątne mają długość 4 oraz 3.

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=4
b=3
c=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

Odpowiedź: Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 5.

WAŻNE!

Pierwiastek oraz potęga są działaniami do siebie odwrotnymi, więc jeśli posiadamy pierwiastek n-stopnia to możemy go usunąć podnosząc wyrażenie do n-potęgi. Tak samo działa to w drugą stronę, gdy posiada potęgę n-stopnia to aby go usunąć należy podłożyć ją pod pierwiastek n-tego stopnia.

jest pierwiastkiem drugiego stopnia, dlatego nim usuwamy potęgę stopnia 2 (potęgę o wykładniku potęgi równym 2).

Przykład 2:

Oblicz długość jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, którego druga przyprostokątna ma długość 8, a przeciwprostokątna 17.

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=?
b=8
c=17

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

Krok 3: Przekształcamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa, tak aby po jednej stronie równania otrzymać niewiadomą, a po drugiej stronie równana pozostałe wartości:

/ -b2

Krok 4: Podstawiamy wartości do wzoru:

Odpowiedź: Długość przyprostokątnej wynosi 15.

3. W jaki sposób obliczać długość przekątnej prostokąta?

Długość przekątnej prostokąta oblicza się przy wykorzystaniu znajomości Twierdzenia Pitagorasa. Jako iż prostokąt posiada wszystkie kąty proste, to po wyprowadzenia z wierzchołka przekątnej otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne, a właśnie ich dotyczy Twierdzenie Pitagorasa.

Poniżej przedstawię kilka przykładów w których będziemy obliczać przekątną prostokąta, oraz różne inne wielkości przy użyciu przekątnej prostokąta.

Przykład 1:

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 6 i 8.

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=6
b=8
d=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

Odpowiedź: Przekątna prostokąta ma długość 10.

Przykład 2:

Oblicz długość pierwszego boku w prostokącie, którego drugi bok długość 12, a przekątna prostokąta ma długość 13.

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=?
b=12
d=13

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

Krok 3: Przekształcamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa, tak aby po jednej stronie równania otrzymać niewiadomą, a po drugiej stronie równana pozostałe wartości:

/ -b2

Krok 4: Podstawiamy wartości do wzoru:

Odpowiedź: Drugi bok prostokąta ma długość 5.

Przykład 3:

Oblicz pole prostokąta o długości jednego z boków 10 oraz o przekątnej długości 26.

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

a=10
b=?
d=26
P=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

Krok 3: Przekształcamy wzór na Twierdzenie Pitagorasa, tak aby po jednej stronie równania otrzymać niewiadomą, a po drugiej stronie równana pozostałe wartości:

/ -a2

Krok 4: Podstawiamy wartości do wzoru:

Krok 5: Przedstawiamy wzór na pole prostokąta:

Krok 6: Podstawiamy wartości do wzoru:

Odpowiedź: Pole prostokąta wynosi 240.

Dziękuję za uwagę.