Przestrzenie banacha

przestrzenie Banacha (nie mylić z osiedlami np. : na Górce Narodowej ) to przestrzeń unormowana X (mająca normę ) w której metryka jest wyznaczona przez normę, wtedy metryka d jest dana wzorem:

d(x, y)= ||x- y||

gdzie występuje przynależność:
x, y X

Metryka d, która jest tym wzorem jest zupełna, co oznacza, że każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni X jest zbieżny (w stosunku do pewnego elementu w przestrzeni X )

Przestrzenie Banacha są zaliczane do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, a w szczególności każda z nich jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii metrycznych, można wyciągnąć wniosek, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama w sobie jest przestrzenią Banacha jedynie gdy jest ona domknięta.

Dzięki przestrzeni Banacha, możemy także (oprócz rozwiązywania zadań oraz różnych zagadnień) udowodnić wiele tez. np:

Zad. 1
Posługując się twierdzeniem Banacha, udowodnij, że równanie:

ma w przedziale (0-1) dokładnie jeden pierwiastek.

Rozwiązanie:
Pierwsze co robimy to przekształcamy równanie do postaci:

= f(x)

Następnie obliczamy:

Staramy się dzięki temu udowodnić, że , gdy ,a’ (0-1), żeby w przypadku udowodnienia, że x=y /| będzie dokładnie jeden punkt stały, będący punktem stałym, czyli pierwiastkiem podanego równania

Informacja:
W rozwiązaniu tego zadania podałem wzór o którym nic nie wspominałem, pamiętaj, że jest wiele wzoru na przestrzeń banacha (więcej możesz się dowiedzieć przeglądając książki albo Internet albo inne wykłady na tej stronie o przestrzeni banacha