Przyprostokątna

Przyprostokątna – to jedno z dwóch ramion w trójkącie prostokątnym, wyznaczająca kąt prosty, czyli kąt o mierze 90°.

Na rysunku powyżej przyprostokątne to boki i . Przyprostokątne występujące w trójkącie prostokątnym nazywamy przyprostokątną przyległą i naprzeciwległą.
Przyprostokątna naprzeciwległa to bok, który leży naprzeciw kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Przyprostokątna przyległa to bok, który leży przy kącie ostrym w trójkącie prostokątnym.

Zadanie:
Na podstawie poniższego rysunku wskaż, który bok jest przyprostokątną przyległą, a który przyprostokątną naprzeciwległą względem zaznaczonego kąta ?

Odpowiedź:
1 . przyprostokątną przyległą jest bok
2 . przyprostokątną naprzeciwległą jest bok

Przyprostokątne występują w trójkącie prostokątnym. Występuje w nim także przeciwprostokątna, czyli bok leżący naprzeciw kąta prostego. Z trójkątem prostokątnym ściśle związane jest twierdzenie Pitagorasa. Jest to jedno z najważniejszych twierdzeń matematycznych. Dotyczy tylko i wyłącznie trójkąta prostokątnego, czyli takiego, w którym jeden kąt jest kątem prostym, tak jak na rysunku poniżej.

Zgodnie z założeniami twierdzenia Pitagorasa, w każdym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Wzór twierdzenia to:

gdzie: i to przyprostokątne , to przeciwprostokątna, tak jak przedstawiono na rysunku poniżej:

Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli na bokach trójkąta zbudujemy kwadraty, to suma ich pól znajdujących się na przyprostokątnych, czyli bokach i , będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej, czyli boku .
Powyższe przedstawiono na rysunku poniżej:

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym są zarazem bokami tego trójkąta jaki i jego wysokościami oznaczanymi literą . Symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi, które opuszczone na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. Natomiast wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne.

Zadanie:
Oblicz najkrótszą wysokość w trójkącie prostokątnym wiedząc, że jego przyprostokątne mają długość 5 cm i 12 cm.

Rozwiązanie:
Najkrótszą wysokością w trójkącie prostokątnym jest wysokość, która opuszczona jest na najdłuższy bok. Wynika to ze wzoru na pole trójkąta: gdzie wysokości trójkąta są odwrotnie proporcjonalne do długości boków. Przedstawmy nasze założenia na rysunku:

Na podstawie powyższego wzoru na pole trójkąta , po przekształceniu wynika, że:
/*2


Znając powyższe należy obliczyć przeciwprostokątną , oczywiście stosując twierdzenie Pitagorasa:




Następnie skorzystamy z wcześniej wyliczonego wzoru, a po jego przekształceniu wyliczymy :
/:


Odpowiedź:
Najkrótsza wysokość trójkąta ma długość cm.

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym są również ściśle związane z trygonometrią, czyli takim działem matematyki, który zajmuje się zależnościami pomiędzy miarami kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego, a długościami jego boków, czyli długościami przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej. Innymi słowy, znając długości boków trójkąta, możemy obliczyć miarę kątów tego trójkąta i odwrotnie. Miara kątów w trójkącie prostokątnym to: jak przedstawiono na rysunku poniżej:

Trójkąt prostokątny jest połówką trójkąta równobocznego, w którym wszystkie boki i kąty są równe. Długości przyprostokątnych wynikają z przekształcenia twierdzenia Pitagorasa, czyli jak pokazano na rysunku poniżej:

Niech jedna przyprostokątna wynosi x, druga to połowa boku, czyli , a przeciwprostokątna ma długość . Po podstawieniu do twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:

Po wyliczeniu otrzymamy

Z definicji funkcji trygonometrycznych można obliczyć wartości funkcji dla kąta 60° oraz 30°:

Zadanie:
Jaką miarę ma najmniejszy kąt w trójkącie prostokątnym, jeżeli jego przyprostokątne wynoszą 1 i ?
Rozwiązanie: najpierw najlepiej sporządzić rysunek poglądowy:

Do celów obliczeniowych tego zadania wyliczmy wartość
A więc krótsza przyprostokątna ma długość 1, a dłuższa 1,73. Dlatego kąt znajduje się przy dłuższej przyprostokątnej.
Aby obliczyć miarę kąta skorzystamy z funkcji tangensa:

Korzystając z tablic matematycznych lub z powyższych głównych wyliczeń wiemy, że :

tangens równy dotyczy kąta 30° .
Odpowiedź:
Najmniejszy kąt w trójkącie prostokątnym wynosi 30°.