Punkt

Zacznijmy od tego, co to w ogóle jest punkt?
Punkt to jeden z trzech podstawowych a zarazem najważniejszych pojęć w dziedzinie matematyki, a konkretnie w geometrii. Z geometrycznego punktu widzenia, takowy punkt jest najmniejszym obiektem bezwymiarowym, dlatego też dwa takie same punkty będą różniły się tylko i wyłącznie położeniem. Aby zaznaczyć punkt na rysunku używamy do tego znaku „x” (krzyżyk), „o” (kółko) lub „.” (kropka). Punkt można również na rysunku oznaczyć. W tym celu używa się do tego dużych liter łacińskiego alfabetu (A, B, C, itd. – tak jak przedstawiono na rysunku poniżej.)

Matematyka współczesna mówi, że punkty to nic innego jak obiekty badań matematycznych, które tworzą różnorakie zbiory. Pojęcie punktu można w takim razie podzielić na różne rodzaje:
1) Punkt skupienia zbioru: dla każdego zbioru przestrzeni topologicznej taki punkt , dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający ten punkt , czyli przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu ze zbiorem jest niepusty.
1.1) Do punktu skupienia możemy przyłączyć również punkt izolowany: jeżeli punkt należy do zbioru, lecz nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru).
1.2) Punkt skupienia ciągu również można podporządkować do punktu skupienia: punktem skupienia ciągu nazywamy każdą z granic podciągów zbieżnych ciągu.
2) Punkt przegięcia jest niejednoznacznym pojęciem matematycznym, które definiuje się inaczej i nierównoważnie, w analizie jak i w geometrii:
2.1) Przegięcie wykresu funkcji rzeczywistej to taki punkt, w którym znacznie zachodzi zmiana wypukłości. Po jednej stronie przegięcia są wklęsłe, a po przeciwnej zaś wypukłe.
2.2) Jednak dla ogólnych krzywych płaskich punkt przegięcia jest punktem, w którym styczna istnieje oraz przechodzi na drugą stronę krzywej.
2.3) Jeden z klasycznych elementów badania przebiegu zmienności funkcji rzeczywistych to poszukiwanie przegięć. Jak to się ma do definicji punktu? Punkty te mogą pojawić się w analizie pierwszej pochodnej, czyli innymi słowy mogą znaleźć się wśród punktów krytycznych. Czym jest punkt krytyczny? Jest to taki punkt, w którym zachodzi jeden z dwóch warunków:
a) pochodna nie istnieje;
b) pochodna istnieje i jest równa 0, a jej funkcja jest różniczkowalna.
Aby ukazać punkt przegięcia należy użyć poniższych definicji:
Jeżeli będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach: , gdzie .
W tym przypadku możemy stwierdzić, że posiada punkt przegięcia w lecz wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnym otoczeniu punktu jest z jednej strony wypukła a z drugiej wklęsła.
Wypukłość i wklęsłość są różne i nierównoważne. Lecz ogólnie rzecz biorąc funkcja :
a) jest ściśle wklęsła na przedziale tylko i wyłącznie wtedy, gdy jest ciągła na przedziale i:
< < >
lub
< b >
b) jest ściśle wypukła na tym przedziale tylko i wyłącznie wtedy, kiedy jest ciągła w danym przedziale i:
< b < c <
lub
< b <
Niektórzy uczeni czy też matematycy za pomocą stycznych określają punkty przegięcia poprzez wypukłość i wklęsłość. Takie definiowanie wymaga wzmocnienia założenia ciągłości o różniczkowalność. W niektórych wypadkach może zdarzyć się dodatkowy wymóg: aby w danym sąsiedztwie przegięcia istniała również druga pochodna i to ciągła.
3) Punkt regularny jest punktem, który znajduje się na krzywej z taką własnością, że poprzez wskazany punkt przechodzi dokładnie jego styczna. Każdy z punktów regularnych krzywej tworzy łuk regularny. Dzięki teorii różniczkowania możemy zrozumieć poniższe pojęcie:
będą przestrzeniami Banacha, zaś odwzorowanie będzie różniczkowalne w punkcie takim, że
Punkt nazywany jest punktem regularnym zbioru , tylko jeżeli pochodna odwzorowania w punkcie jest suriekcją .
4) Punkt zerowy funkcji inaczej nazywany jest miejscem zerowym, zerem funkcji lub jej pierwiastkiem. Jest on argumentem funkcji, dla którego przyjmuje ono wartość zerową. Jeśli zaś mamy przypadek funkcji rzeczywistej, która jest przedstawiona w układzie współrzędnych kartezjańskich, interpretacją geometryczną punktu zerowego będzie odcięta punktu. Należy ona do wykresu danej funkcji.
5) O punkcie osobliwym mówi definicja: każda funkcja homologiczna może zostać rozwinięta w szereg potęgowy, czyli innymi słowy w szereg Laurenta. Możemy dodać również, że istnienie punktu osobliwego jest związane z koniecznym omijaniem takowego punku. Wartość funkcji w tym punkcie byłaby nieskończona i obliczana z całek konturowych.

Próbę zdefiniowania pojęcia punktu, jako pierwszy podjął Euklides, grecki matematyk. Według jego słów „Punkt to jest to, co nie składa się z części” możemy więc stwierdzić, że punkt jest miejscem bez jakichkolwiek wymiarów. Euklides przedstawił to w swoich twierdzeniach jak i w postulatach. Zazwyczaj jednak „punkt” używany jest po to, aby odnieść się do elementów przestrzeni euklidesowej czy też innych geometrycznych przestrzeni (np.: przestrzeń Łobaczewskiego, przestrzeń Minkowskiego czy też przestrzeń Riemanna).