Punkt przegięcia

Punkt przegięcia funkcji rzeczywistej to taki punkt w jej dziedzinie lub punkt na wykresie tej funkcji, w którym zachodzi zamiana wypukłości funkcji na wklęsłość funkcji. Oznacza to, że w tym punkcie znak drugiej pochodnej zmienia znak.
Punkt przegięcia to też taki punkt krzywych płaskich, w którym styczna przechodzi z jednej strony krzywej na drugą stronę.

Należy również pamiętać, że punkt przegięcia istnieje pod warunkiem, że istnieje taka liczba δ > 0 , że funkcja jest funkcją wypukłą oraz wklęsłą lub na odwrót funkcją wklęsłą oraz wypukłą.
Aby znaleźć punkt przegięcia funkcji należy:
1 . wyliczyć drugą pochodną funkcji
2 . obliczoną pochodną przyrównać do zera – w punkcie przegięcia druga pochodna funkcji zeruje się
3 . rozwiązać równanie, czyli sprawdzić, czy występujące w równaniu parametry należą do dziedziny funkcji
4 . sprawdzić, czy przy „przechodzeniu” przez punkt przegięcia druga pochodna zmienia znak, wykorzystując na przykład wzór Taylora.
Zadanie:
Punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji. Dla jakich wartości a i b wskazany punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji: .

Ponieważ punkt (1,3) jest punktem przegięcia wykresu funkcji , to punkt ten należy do wykresu. Zachodzi więc równość: , którą można również zapisać jako .
następnie funkcję należy przyrównać do zera:
Ponieważ: to również równość spełnia założenia. Oznacza to, że parametry i spełniają układ równań: i
Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymamy wynik:
/ /
Teraz należy sprawdzić, czy przy „przechodzeniu” przez punkt druga pochodna zmienia znak. Skorzystamy ze wzoru Taylora.
Druga pochodna podana jest wzorem
Funkcja > dla < oraz < dla > pochodna w punkcie zmienia znak.
Oznacza to, że w punkcie wykres funkcji przedstawionej poniżej posiada punkt przegięcia.
/ /