Rachunek prawdopodobieństwa

Doświadczenie losowe i zbiór zdarzeń elementarnych

Doświadczeniem losowym można określić wydarzenie, które powtarza się co najmniej raz, a jego wyników nie można jednoznacznie przewidzieć. Na przykład kiedy rzucamy dwa razy monetą, za żadnym razem nie jesteśmy w stanie przewidzieć czy wypadnie orzeł czy reszka. Każdy możliwy wynik doświadczenia (czyli w tym wypadku wypadnięcie orła lub reszki) oznaczany jest jako ω, czyli omega pisana małą literą i nazywany jest zdarzeniem elementarnym. Jeśli zatem wypiszemy wszystkie zdarzenia elementarne, czyli wszystkie wyniki, które można otrzymać w danym doświadczeniu, określimy tak zwany zbiór zdarzeń elementarnych lub przestrzeń zdarzeń elementarnych, który z kolei oznaczamy jako Ω, czyli omega pisana wielką literą.

Zapisujemy to w ten sposób: (dla liczby n wyników doświadczenia losowego).

Przykład pierwszy: Rzucamy dwa razy symetryczną monetą.

Wskazówka: określenie „symetryczna” oznacza, że szanse na wyrzucenie zarówno orła, jak i reszki są takie same.

Naszym doświadczeniem losowym jest zatem dwukrotny rzut monetą. Jako, że moneta jest symetryczna, za każdym razem możliwe jest wypadnięcie orła lub reszki.

Niech O oznacza wynik doświadczenia, którym będzie wyrzucenie orła, a R wyrzucenie reszki.

Określamy zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych:

{(O,O),(O,R),(R,O),(R,R)}

Wskazówka: Aby określić przestrzeń zdarzeń elementarnych otwieramy nawias klamrowy, w którym umieszczamy zdarzenia elementarne w nawiasach okrągłych. Liczba wyników w danym nawiasie okrągłym jest uzależniona od tego ile razy wykonujemy doświadczenie. W tym wypadku rzucamy monetą dwa razy, dlatego w każdym z nawiasów okrągłych mamy dwie możliwości, na przykład: (O,R), co oznacza, że za pierwszym rzutem wypadł orzeł, a za drugim reszka.

W tym wypadku:
(O,O)
(O,R)
(R,O)
(R,R)

Wskazówka: gdy określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych, poszczególne zdarzenia elementarne oddzielamy przecinkami.

Jak określić liczbę wyników doświadczenia losowego?

Liczbę elementów (zdarzeń elementarnych), czyli wszystkich wyników danego doświadczenia można określić jako lub , co odczytujemy jako moc zbioru omega. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy jako lub .

Pierwszym sposobem na określenie liczby zdarzeń elementarnych jest wypisanie poszczególnych elementów i policzeniu ich, jednak nie zawsze jest to możliwe, ponieważ czasami wyników tych może być naprawdę dużo, co zajęłoby dużo czasu oraz wypisując wszystkie wyniki łatwo o pomyłkę. Na podstawie przykładu pierwszego: określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych: {(O,O),(O,R),(R,O),(R,R)}, widzimy zatem, że liczba zdarzeń elementarnych wynosi cztery. Zapisujemy to jako: .

Drugim sposobem jest tak zwana reguła mnożenia i reguła dodawania, która pozwala w szybki sposób określić liczbę zdarzeń elementarnych.
Regułę mnożenia wykorzystamy, gdy w toku rozumowania używamy spójnika „lub„, natomiast regułę dodawania wtedy, gdy używamy spójnika „i„. Zilustrujmy to przykładem:

Przykład drugi: W pewnej restauracji można zamówić różne rodzaje zestawów obiadowych. Restauracja ta oferuje trzy rodzaje zup, trzy rodzaje dań głównych oraz dwa rodzaje deserów.

Niech z1, z2 i z3 oznaczają rodzaje zup, które można zamówić, g1, g2 i g3 oznaczają rodzaje dań głównych, które można zamówić, a d1 i d2 rodzaje deserów, które można zamówić.

Określamy moc zbioru omega: 3 3 2 18

Wyjaśnienie:
3, ponieważ mamy do wyboru trzy zupy,
3, ponieważ mamy do wyboru trzy dania główne,
2, ponieważ mamy do wyboru dwa desery.

Zastosowaliśmy tutaj regułę mnożenia, ponieważ można wybrać trzy rodzaje zup i trzy rodzaje dań głównych i dwa rodzaje deserów, co stanowi jeden pakiet.

Przykład trzeci: spośród cyfr: 1, 2, 3, 4, 5 wylosowano trzy cyfry (ze zwracaniem) i utworzono liczbę trzycyfrową, tak, że pierwsza wylosowana liczba stanowi cyfrę setek, druga cyfrę dziesiątek, a trzecia cyfrę jedności. Oblicz liczbę zdarzeń elementarnych zbioru A takich jeśli utworzono liczby mniejsze od 543.

Wskazówka: jeśli w zadaniu losujemy coś „ze zwracaniem” oznacza to, że jeśli za pierwszym razem coś wylosujemy, za każdym kolejnym też będziemy mogli to wylosować, ponieważ wraca do puli.

Określamy moc zbioru omega: 5 5 5 = 125

Wyjaśnienie:
5, ponieważ za pierwszym razem możemy wylosować pięć cyfr,
5, ponieważ za drugim razem też możemy wylosować pięć cyfr, dlatego, że losujemy „ze zwracaniem”,
5, ponieważ za trzecim razem również możemy wylosować pięć cyfr.

Określamy moc zbioru A: 4 5 5 + 1 4 2 = 100 + 8 = 108

Wyjaśnienie:
Sytuacja 1:
4, ponieważ cyfrą setek może być jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4
5, ponieważ cyfrą dziesiątek może być jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5
5, ponieważ cyfrą jedności może być jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5

najwyższa utworzona w ten sposób liczba to 455.

lub:

Sytuacja 2:
1, ponieważ 5 również może być cyfrą setek (ale wtedy cyfry dziesiątek i setek muszą być takie, aby utworzona liczba nie była większa niż 543),
4, ponieważ jeśli cyfrą setek jest 4, to cyfrą dziesiątek może być tylko 1, 2, 3 lub 4
2, ponieważ jeśli cyfrą setek jest 4, a cyfrą dziesiątek jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, to cyfrą jedności może być jedna z cyfr: 1, 2.

najwyższa utworzona w ten sposób liczba to 542.

Odpowiedź: , zatem takich liczb można utworzyć 108.

Zdarzenie losowe i obliczanie prawdopodobieństwa

Zdarzenie losowe oznaczane jest wielkimi literami alfabetu: A, B, C,…
Jeśli ω to mówimy, że ω jest zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A.

Zdarzenie pewne to zdarzenie losowe, któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne zbioru Ω.
Zdarzenie niemożliwe to zdarzenie losowe, któremu nie sprzyja żaden element należący do zbioru Ω.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo korzystamy ze wzoru:

gdzie: oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, a oznacza liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.