Rachunek wariacyjny

Rachunek wariacyjny jest to dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów (odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste) określonych na przestrzeniach funkcyjnych. Celem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie takich funkcji, które zminimalizują funkcjonał (czyli całkę w zagadnieniu wariacyjnym).

Najczęściej spotykanym i jednocześnie prostym funkcjonałem jest:

gdzie:
f- funkcja bazowa

Przy zadaniach z wykorzystaniem rachunku wariacyjnego trzeba też pamiętać o:

//// Równaniu Eulera-Lagrange’a: \\

definicja:
Jeżeli y(x) jest funkcją minimalizującą funkcjonał F[y(x)] w przedziale [a- b], to wtedy funkcja y(x) spełnia następujące równanie różniczkowe (czyli równanie Eulera-Lagrange’a):

wzór ten zmienia format przy:
a) Tożsamości Beltrami’ego:
Jeżeli funkcja bazowa ,f’ nie zależy w żaden sposób jawnie od x (czyli gdy ), wtedy równaniu Eulera-Lagrange’a odpowiada równoważne mu równanie:

b) Funkcjonale z wyższymi pochodnymi funkcji y(x):
dla funkcjonału:

równanie Eulera-Lagrange’a ma postać:

c) Funkcjonale z wieloma szukanymi funkcjami:
dla funkcjonału:

nasze omawiane równanie ma postać:

d) Funkcjonale z kilkoma zmiennymi niezależnymi:
dla funkcjonału:

nasze omawiane równanie ma postać:

A teraz czas na przykład wykorzystania wzorów przy obliczaniu wariacji rachunkowych:

Przykład
Stosując rachunek wariacyjny wykaż, że na płaszczyźnie xy najkrótszą drogą między punktami P(a, y(a)) i Q(b, y(b)) jest odcinek prostej. Długość łuku krzywej y(x) przechodzącej przez P i Q wynosi:

zachodzi tutaj równość:

Zatem równanie Eulera-Langrauge’a w tym przypadku sprowadza się do:

——>

Mamy więc:

Oraz jeszcze:

Stąd mamy równanie krzywej y(x) otrzymane z rozwiązania równania różniczkowego: .

Po pierwszym całkowaniu wychodzi nam:

zaś po drugim:

Udało nam się stwierdzić, że najkrótszą drogą między punktami P i Q na płaszczyźnie jest odcinek prostej !!

Brawo!!

Koniec