Równania kwadratowe i nierówności kwadratowe

Równania i nierówności kwadratowe

a. Punkty przecięcia wykresów funkcji
b. Równania kwadratowe
c. Równania prowadzące do równań kwadratowych
d. Nierówności kwadratowe
e. „Sprytne” równania i nierówności
f. Równania kwadratowe z parametrem

Omawianie tego tematu zaczniemy od kilku ćwiczeń:

Ćwiczenie 1:
Dla jakich argumentów wartość funkcji jest równa 0?

Rozwiązanie:
Szukamy takich , że . Możemy zapisać to również jako równanie z niewiadomą:. Jednocześnie wiemy, że miejsca, w których funkcja przyjmuje wartość 0 to po prostu miejsca zerowe. A więc, żeby rozwiązać równanie , musimy znaleźć miejsca zerowe funkcji, której wzór jest podany po lewej stronie równania. Obliczamy:
,
,
Odpowiedź: Wartość funkcji jest równa zero, kiedy lub .

Odpowiedź w ćwiczeniu 1 jest równoznaczna
ze stwierdzeniem, że równanie ma dwa rozwiązania i (co możemy zapisać też jako ). Równanie, które właśnie rozwiązaliśmy, to tak zwane równanie kwadratowe.
Przeanalizujmy trochę zmienioną wersję ćwiczenia 1:

Ćwiczenie 1’’:
Dla jakich argumentów wartość funkcji jest równa 6?
Rozwiązanie:
Szukamy takich, że. Możemy zapisać to również jako równanie co jest równoznaczne z (przenieśliśmy 6 na lewą stronę równania). Po raz kolejny otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które po prawej stronie ma 0 – a więc możemy bez problemu je rozwiązać szukając miejsc zerowych wyrażenia .
,
,
Odpowiedź: Wartość funkcji jest równa 6, kiedy lub .
Co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że równanie ma dwa rozwiązania .

Ćwiczenie 1’’’:
Dla jakich argumentów wykres funkcji przecina się z wykresem funkcji liniowej danej wzorem ?
Rozwiązanie:
Wykresy dwóch funkcji przecinają się w punktach, gdzie przyjmują te same wartości (dla tych samych argumentów), co możemy zapisać jako. Podstawiając wzory funkcji, otrzymujemy równanie . Aby je rozwiązać, musimy przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę otrzymując
,
,
Odpowiedź: Wykres przecina się z wykresem funkcji , kiedy lub.
Co oznacza, że równanie ma dwa rozwiązania

Ćwiczenie 1’’’’:
Dla jakich argumentów wykres funkcji przecina się z wykresem funkcji ?
Rozwiązanie:
Jak przypomnieliśmy sobie w poprzednim ćwiczeniu, wykresy funkcji przetną się kiedy, czyli w tym przypadku. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i otrzymujemy.
Żeby ułatwić sobie rozwiązanie, możemy podzielić obydwie strony równania przez 2 otrzymując. Dalsza część rozwiązania, mam nadzieję, nie będzie już dla ciebie zbyt zaskakująca:
,
,
Odpowiedź: Wykresy funkcji oraz przecinają się, kiedy lub.
Równanie ma dwa rozwiązania

Ćwiczenie 1’’’’’:
Dla jakich argumentów wykres funkcji przecina się z wykresem funkcji ?
Rozwiązanie:
Aby znaleźć argumenty, dla których wykresy się przetną, rozwiązujemy równanie =. Przenieśliśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania i otrzymujemy. Teraz możemy policzyć wyróżnik trójmianu (deltę):

Zauważ, że, co oznacza, że funkcja dana wzorem nie ma miejsc zerowych. Czyli nie istnieje taki, że– a więc to równanie nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: Wykresy funkcji oraz nie mają żadnych punktów wspólnych.

A więc możemy stwierdzić, że równanie = nie ma rozwiązań.
(Drobna) uwaga: czasami spotkasz się z zapisem „równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych”. Oznacza to dokładnie to samo, co „równanie nie ma rozwiązań”, ponieważ w szkole średniej nie omawiamy liczb, które nie należą do zbioru liczb rzeczywistych – z tymi nie-rzeczywistymi być może spotkasz się na studiach 🙂

Ćwiczenie 2:
Dla każdego równania określ, ile ma rozwiązań (pamiętaj, żeby zacząć od przeniesienia wszystkich wyrazów na jedną stronę!), po czym je rozwiąż:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Odpowiedzi:

a)(2 rozwiązania)
b)równanie nie ma rozwiązań
c)(1 rozwiązanie)
d)(2 rozwiązania)
e)(2 rozwiązania)
f)(2 rozwiązania)

Równania kwadratowe (z resztą nierówności również) to zagadnienia, które po prostu trzeba wielokrotnie przećwiczyć na coraz trudniejszych przykładach. Niektóre z nich początkowo nawet nie będą przypominały wzorów funkcji kwadratowej w postaci ogólnej… ani żadnej innej z tych, które szczegółowo omawialiśmy.

Ćwiczenie 3:
Rozwiąż równania kwadratowe:

a)
b)
c)
d)

Rozwiązanie przykładów a. oraz d. i (p)odpowiedzi:
a)Przy rozwiązywaniu tak skomplikowanych równań kwadratowych, musimy bardzo uważać na kolejność działań. Mając w pamięci, że naszym celem jest doprowadzenie do postaci, gdzie po lewej stronie równania będzie wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, a po prawej 0, zaczynamy rozwiązywać:
po prawej stronie możemy skorzystać z wzoru skróconego mnożenia
po obydwu stronach otrzymujemy wzory funkcji w postaci ogólnej…
… więc przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę
, liczymy deltę i pierwiastek z delty
, po skróceniu otrzymujemy 2 rozwiązania oraz.
Odpowiedź:
b)(postać po skróceniu:)
c)(postać po skróceniu:)
d)Po prawej stronie zaczynamy od wymnożenia wyrażenia w nawiasie razy 2, a po lewej z rozwinięcia korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. Otrzymujemy:


po obydwu stronach otrzymaliśmy wzory funkcji w postaci ogólnej
przenosimy wszystko na lewą stronę
delta mniejsza od zera, więc od razu udzielamy odpowiedzi
Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań

W tym momencie warto wspomnieć o tym, że nie wszystkie równania kwadratowe musimy rozwiązywać w taki sposób. Jednym ze „sprytniejszych” sposobów, jest zwijanie części wyrażenia do wzorów skróconego mnożenia:

Ćwiczenie 4:
Rozwiąż równania kwadratowe:

a)
b)
c)
d)

Rozwiązania i odpowiedzi:
a) Takie równania będziemy rozwiązywać – uwaga – bez przenoszenia 8 na lewą stronę! Tutaj naszą docelową postacią będzie ta, gdzie po lewej stronie równania będzie samo wyrażenie podnoszone do kwadratu, a po prawej – liczba. Zaczynamy rozwiązywanie od podzielenia obustronnie przez 2 i otrzymujemy:

To równanie będzie spełnione, gdy wyrażenie w nawiasie będzie równe lub . Zapisujemy więc obydwa przypadki poniżej:
Z pierwszego otrzymujemy rozwiązanie
Z drugiego dostajemy drugie rozwiązanie
Odpowiedź: .
b) Zaczynamy od przeniesienia 1 na prawą stronę i otrzymujemy:
Następnie dzielimy przez(czyli mnożymy razy 3) aby otrzymać wyrażenie:, które jest sprzeczne, bo wyrażenie po lewej stronie musi być nieujemne, więc nigdy nie będzie równe .
Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań.
c) To równanie oczywiście umiemy już rozwiązać licząc deltę i korzystając ze wzorów. Czasami jednak szybciej jest skorzystać z pewnego sprytnego sposobu: to, co się da zwinąć do wzoru skróconego mnożenia zwijamy, a to, co zostało, przenosimy na prawą stronę równania.
Wyrażenie po lewej możemy zapisać też jako. W takiej postaci, trzy pierwsze wyrazy () tworzą rozwinięty wzór skróconego mnożenia.
Jeżeli go zwiniemy, otrzymamy takie równanie:
rozwiązujemy dalej tak, jak w poprzednich przykładach
przenosimy 4 na prawą stronę równania
lub możliwe rozwiązania
lub
Odpowiedź: .
d) Musimy tak „rozbić’” wyraz wolny (czyli), aby zobaczyć wzór skróconego mnożenia postaci .
Współczynnik przy jest ujemny, więc będziemy korzystać z wzoru.
, więc
i wiemy, że , więc , więc
To , czego szukamy, to , czyli 9. W takim razie musimy zapisać jako (jeżeli potrzebujesz dodatkowego wyjaśnienia tego, co działo się do tej pory, wróć do tematu „Wzory skróconego mnożenia”). Zapisujemy więc równanie jako:
dalej postępujemy jak poprzednio, otrzymując równanie:
, którego dalszej części rozwiązania nie będziemy tu opisywać
Odpowiedź: .

Czasami jesteśmy też w stanie bardzo szybko znaleźć postać iloczynową lub taką, którą roboczo nazwiemy podobną do iloczynowej) wyrażenia – a co za tym idzie, sprytnie odkryć rozwiązania równania:

Ćwiczenie5:
Rozwiąż równania kwadratowe:

a)
b)
c)
d)

Rozwiązania:
a) Zastanówmy się przez chwilę, kiedy wyrażenie po lewej stronie będzie równe 0. Zauważ, że cokolwiek pomnożymy przez 0, zawsze otrzymamy 0. A więc jeśli wyrażenie w którymś z nawiasów (między którymi mamy „niewidzialny” znak mnożenia) będzie równe 0, całe wyrażenie – również.
W takim razie, mamy właściwie do rozwiązania 2 równania (liniowe):
Wyrażenie w pierwszym nawiasie zeruje się, kiedy , czyli kiedy
Wyrażenie w drugim nawiasie wyzeruje się, kiedy , czyli kiedy
Odpowiedź: Równanie ma 2 rozwiązania .
b) Równanie w pierwszym nawiasie da nam rozwiązanie (pamiętaj o usuwaniu niewymierności z mianownika, aby otrzymać pełną ilość punktów za odpowiedź:))
Z drugiego nawiasu dostajemy
Odpowiedź: .
c) Zapewne nie jest dla ciebie problemem rozwiązanie tego równania licząc deltę i używając wzorów. Jednak istnieje trik, polegający na rozbijaniu środkowego wyrazu. Zauważ, że równanie możemy też zapisać jako:

Nie bez powodu pary wyrazów zaznaczyłam różnymi kolorami. Zauważ, że z każdej z nich można wyciągnąć jakąś część przed nawias:

Obydwa wyrażenia w nawiasach są takie same, więc lewą stronę równania możemy zapisać jako:
, co już bez problemu umiemy rozwiązać.
Odpowiedź: .
d) Rozbijamy środkowy wyraz i otrzymujemy: .
Z każdej pary wyciągamy przed nawias to, co możemy:
Wyrażenia w obydwu nawiasach są jednakowe – więc możemy to też zapisać jako:
Rozwiązujemy dwa równania: oraz i zapisujemy odpowiedź.
Odpowiedź: .

Oczywiście to, jakiej metody najczęściej będziesz używać, zależy tylko od ciebie. Więc, jeśli niektóre ze „sprytnych” sposobów do ciebie nie przemawiają – nie przejmuj się! Korzystanie z wzorów na deltę i miejsca zerowe i tak zazwyczaj okazuje się nawet, jeśli nie najszybszym, to najbezpieczniejszym sposobem :).

Przy omawianiu równań kwadratowych, musimy wspomnieć również o równaniach prowadzących do równań kwadratowych. Są to równania postaci (lub sprowadzalne do postaci) .

Ćwiczenie 7:
Rozwiąż równania:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Rozwiązania:
a) Cała sztuka rozwiązywania takich równań polega na zauważeniu dlaczego jest ono „podobne” do równania kwadratowego w postaci ogólnej. Zauważ, że możemy je też zapisać jako:

Jeżeli wykonamy podstawienie , otrzymamy „zwykłe” równanie kwadratowe:
co już bez problemu możemy obliczyć

, pamiętaj, że obliczyliśmy rozwiązania równania , więc niewiadomą jest !
W tym momencie musimy wrócić do wykonanego przez nas podstawienia oraz . A więc:
sprzeczność, bo kwadraty liczb rzeczywistych zawsze są nieujemne (ogólniej: każda liczba rzeczywista podniesiona do parzystej potęgi jest nieujemna)
co możemy rozbić na 2 przypadki: lub
Odpowiedź: Równanie ma dwa rozwiązania .
b) Tak jak w „zwykłych” równaniach kwadratowych, musimy zacząć od sprowadzania równania do postaci (czyli takiej, gdzie po jednej stronie są wszystkie wyrazy, a po drugiej – zero). Jeśli przeniesiemy wszystkie wyrazy na prawą stronę, po zredukowaniu otrzymamy .
Teraz będziemy postępować tak, jak w przykładzie a. – czyli wykonujemy podstawienie– i otrzymujemy równanie pomocnicze.
To równanie ma 2 miejsca zerowe: ,.
Jeżeli podstawimy „z powrotem” za za , otrzymamy dwie równości:
co jest sprzeczne
co również jest sprzeczne
Jak widać, z żadnego z tych przypadków nie otrzymaliśmy rozwiązań.
Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań (w zbiorze liczb rzeczywistych)
c) Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę otrzymujemy równanie. Zauważ, że – dlatego w tym miejscu warto wykonać podstawienie .
Otrzymujemy wtedy równanie pomocnicze: .
Ma ono dwa rozwiązania: ,.
Następnie podstawiamy „z powrotem”:
, czyli (pamiętaj, że liczba podniesiona do nieparzystej potęgi może być ujemna)
, czyli .
Odpowiedź: Równanie ma dwa rozwiązania.
d) Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę równania, otrzymujemy.
Teraz musimy zauważyć, że .
A więc to równanie możemy też zapisać jako .
Aby otrzymać kwadratowe równanie pomocnicze, wykonujemy podstawienie.
Po podstawieniu mamy: .
To równanie ma 2 rozwiązania :,.
Wykonujemy podstawienie „z powrotem” i dostajemy dwa równania:
to sprzeczność; pierwiastek drugiego stopnia nigdy nie jest liczbą ujemną
podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:
po przeniesieniu 1 na lewą stronę otrzymujemy rozwiązanie.
Odpowiedź: Równanie ma jedno rozwiązanie .
e) Równanie możemy podzielić obustronnie przez 2, aby otrzymać trochę prostszą formę .
W tym miejscu wykonujemy podstawienie (zwróć uwagę, że i otrzymujemy równanie pomocnicze:. W tym miejscu warto zauważyć, że wyrażenie po lewej stronie możemy od razu zwinąć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia do postaci:.
Otrzymujemy jedno rozwiązanie:.
Po podstawieniu:– tu musimy pamiętać, że pierwiastek trzeciego (nieparzystego) stopnia może być liczbą ujemną :).
Podnosimy obustronnie do trzeciej potęgi i otrzymujemy .
Odpowiedź: Równanie ma jedno rozwiązanie .
f) Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę, otrzymujemy:.
Intuicja podpowiada nam w tym miejscu (a przynajmniej powinna), żeby wykonać podstawienie .
Wcześniej jednak musimy zauważyć, że .
Więc równanie możemy zapisać jako: .
Po podstawieniu otrzymujemy równanie pomocnicze: .
Równanie pomocnicze ma dwa rozwiązania: oraz .
Po podstawieniu „z powrotem” mamy:

podnosimy obydwie strony do kwadratu i otrzymujemy:
czyli pierwsze rozwiązanie to
skąd otrzymujemy drugie rozwiązanie

O równaniach kwadratowych wiemy już wszystko, co powinniśmy (a przynajmniej co jest wymagane na maturze:)). Wróćmy jednak na chwilę do zadania z samego początku tej lekcji – ale trochę zmienionego.

Ćwiczenie 1.2:
Dla jakich argumentów wartość funkcji jest mniejsza od 0?
Rozwiązanie:
Szukamy takich, że . Możemy zapisać to również jako nierówność z niewiadomą:.
Zauważ, że znak funkcji (czyli to, czy jej wartość jest dodatnia, czy ujemna) zmienia się w miejscach zerowych. Nas interesuje fragment zaznaczony na czerwono, bo tam wszystkie wartości są ujemne.
Wiemy, że miejsca zerowe tej funkcji to i , więc możemy zapisać:
Odpowiedź: Wartość funkcji jest mniejsza od zero, kiedy.
Co oznacza dokładnie to samo, co stwierdzenie, że zbiorem rozwiązań nierówności
jest przedział .
Ćwiczenie 1.2’’:
Dla jakich argumentów wartość funkcji jest większa lub równa 6?
Rozwiązanie:
Interesują nas wartości większe lub równie 6 czyli te powyżej prostej , czyli takie , że. Możemy to zapisać również jako, co jest równoznaczne z. Znamy już (z ćwiczenia 1’) miejsca zerowe funkcji :i. Narysujmy jej uproszczony wykres:

Na czerwono zaznaczyliśmy przedział (a właściwie – sumę przedziałów), w którym funkcja przyjmuje większe wartości od 0 (czyli nierówność jest spełniona). Odczytujemy go z rysunku i zapisujemy odpowiedź:
Odpowiedź: Wartość funkcji jest większa lub równa 6, kiedy.

Co oznacza, że zbiorem rozwiązań nierówności jest.

Ćwiczenie 1.2’’:
Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje większą wartość niż ?
Rozwiązanie:
Musimy znaleźć takie , że . Podstawiając wzory funkcji, otrzymujemy nierówność . Aby ją rozwiązać,
musimy przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę otrzymując

Miejsca zerowe funkcji to i .
Rysujemy przybliżony wykres i zaznaczamy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe od 0:

Odpowiedź: przyjmuje wartość większą niż , kiedy .
Czyli zbiorem rozwiązań nierówności jest .

Ćwiczenie 1.2’’’’:
Dla jakich argumentów wartość funkcji jest mniejsza lub równa wartości funkcji?
Rozwiązanie:
Szukamy takich, że , czyli w tym przypadku .
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i otrzymujemy .
Miejsca zerowe funkcji to i . Rysujemy jej przybliżony wykres:

Odpowiedź: Funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe , kiedy .

Zbiorem rozwiązań nierówności jest .

Powyższe ćwiczenia wymagały od nas niczego innego, jak rozwiązania nierówności kwadratowych. Schemat rozwiązywania ich jest prosty (o ile opanowaliśmy dobrze równania kwadratowe):
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę nierówności
Znajdujemy miejsca zerowe funkcji, której wzór jest podany po jednej stronie nierówności
Rysujemy przybliżony wykres tej funkcji, uwzględniając skierowanie ramion paraboli i miejsca zerowe
Na rysunku zaznaczamy zbiór rozwiązań nierówności
Udzielamy odpowiedzi
W ćwiczeniu poniżej rozwiążemy kilka nierówności kwadratowych.

Ćwiczenie 8:
Rozwiąż nierówności kwadratowe:
a)
b)
c)
d)
e)

Rozwiązania:
a) Miejsca zerowe możemy odczytać od razu: (z pierwszego nawiasu) i (z drugiego). Jednak w przy nierównościach, aby się nie pomylić, takie wyrażenia w postaci)będziemy doprowadzać do postaci iloczynowej ).
Wyrażenie w pierwszym nawiasie już jest postaci , więc tu nic nie zmieniamy
Wyrażenie w drugim nawiasie jest postaci , więc liczbę stojącą przy wyciągamy przed nawias.
Otrzymujemy
„Poprawiony” wzór wygląda tak:
Rysujemy przybliżony wykres paraboli pamiętając, że jej ramiona są skierowane w dół i zaznaczamy na nim przedział(y), gdzie wartość funkcji jest mniejsza od 0:
przed zaznaczeniem:

po zaznaczeniu:
Z rysunku odczytujemy zaznaczone przedziały i zapisujemy odpowiedź.
Odpowiedź: .
b) Z wyrażenia w pierwszym nawiasie wyciągamy przed nawias otrzymując
Z drugiego wyciągniemy przed nawias i otrzymamy .
Odczytujemy miejsca zerowe oraz i .
Rysujemy przybliżony wykres funkcji i zaznaczamy wartości większe lub równe 0:

Odpowiedź:

c) Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę otrzymujemy nierówność .
Wyrażenie możemy uprościć dzieląc przez 3; otrzymamy wtedy
Liczymy deltę i wyznaczamy miejsca zerowe:
,
,
Rysujemy przybliżony wykres paraboli i zaznaczamy na nim dodatnie wartości:

Odpowiedź: .
d) Do znalezienia miejsca zerowego funkcji możesz dojść licząc deltę i miejsca zerowe ze wzorów lub zauważając od razu, że jest to wzór skróconego mnożenia zwijalny do postaci .
Niezależnie od metody, otrzymujemy jedno miejsce zerowe .
Rysujemy przybliżony wykres funkcji:
Mamy zaznaczyć miejsca, gdzie funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe 0. Widzimy, że wartości mniejszej od 0 nie przyjmuje nigdy, a wartość równą 0 tylko w swoim miejscu zerowym.
Zaznaczamy:
Odpowiedź: (nierówność ma tylko jedno rozwiązanie)
e)Funkcja nie ma miejsc zerowych i jest skierowana ramionami w dół. Rysujemy wykres:

Szukamy rozwiązań nierówności , czyli wartości dodatnich. Jednak na rysunku widać, że funkcja nigdy nie przyjmuje wartości dodatnich.
Odpowiedź: Nierówność nie ma rozwiązań

Dodatek dla rozszerzenia: równania kwadratowe z parametrem

Równania kwadratowe z parametrem stanowią w pewnym sensie zestawienie wszystkiego, co wiemy o równaniach kwadratowych, a właściwie – o ich rozwiązaniach.

Ćwiczenie 9:
Wyznacz wszystkie wartości parametru, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od .

Rozwiązanie:
Zacznijmy od doprecyzowania pewnej bardzo istotnej rzeczy, która dosyć często sprawia uczniom problem:
Równanie to równanie z niewiadomą (zmienną) oraz parametrem . W każdym zadaniu tego typu będziemy szukali wartości parametru , dla których rozwiązania równania, czyli i , spełniają określone w treści zadania warunki.
Podkreślmy w treści zadania, wszystkie warunki, które muszą zostać spełnione, aby nie zapomnieć o żadnym z nich:
„Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od .”
Czyli muszą zostać tutaj spełnione 2 warunki:
1. Równanie ma dwa różne pierwiastki (rozwiązania)
2. Suma kwadratów tych dwóch rozwiązań musi być większa od
W takim razie, będziemy potrzebowali dwóch założeń. Aby mieć pewność, że otrzymamy 2 różne rozwiązania, musimy założyć („obiecać sobie”), że delta będzie większa od 0. Stąd pierwsze założenie to:

Drugie założenie zapiszemy w postaci nierówności:

Właśnie wykonaliśmy pierwszy krok do rozwiązania, czyli założenia. Pozostaje nam sprawdzić, dla jakich wartości parametru będą one jednocześnie spełnione. Zacznijmy od pierwszego założenia:
1.
Zapiszmy wartości poszczególnych współczynników w wyrażeniu , traktowanym jako wzór funkcji kwadratowej: .
Podstawiamy je do wzoru na deltę i liczymy:

Zaakcentujmy, że w tym momencie policzyliśmy deltę, czyli wyróżnik trójmianu ze zmienną.
W tym założeniu chcemy sobie obiecać, że ta delta będzie większa od 0, a więc spełniona będzie nierówność:

rozwijamy wzór skróconego mnożenia
Odczytujemy miejsca zerowe oraz i rysujemy przybliżony wykres paraboli.

Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest.
I to właściwie jest wszystko, co musieliśmy zrobić w założeniu pierwszym. Już wiemy, że jest ono spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy . Dobrym nawykiem, żeby nie popełnić bezsensownych błędów, jest podkreślenie przedziałów uzyskanych w poszczególnych założeniach (tak, jak powyżej)
Teraz możemy przejść do założenia drugiego.
2.
Teoretycznie dalibyśmy radę policzyć wartości i po czym podstawić je do tej nierówności, jednak zajęłoby nam to strasznie dużo czasu i wiązało się z ryzykiem błędów obliczeniowych – dlatego podejdziemy do tego w inny sposób. W prawie każdym zadaniu z równaniem kwadratowym z parametrem będziemy korzystać z wzorów Viete’a, które poznaliśmy przy okazji omawiania funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. Przypomnijmy je w tym miejscu raz jeszcze: oraz .
Chcemy tak zapisać lewą stronę nierówności (wyrażenie), aby „zobaczyć” w niej wzory Viete’a:

To jest dokładnie to, o co nam chodziło! Poniżej policzymy wartości osobno sumy i iloczynu miejsc zerowych po czym podstawimy je do otrzymanego wyrażenia. Pamiętaj, że rozmawiamy o rozwiązaniach równania
z niewiadomą .


Podstawiamy do wyrażenia :. Wróćmy do nierówności, którą mamy rozwiązać:


przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności
dla wygody możemy pomnożyć obustronnie razy pamiętając o zmianie kierunku nierówności
rozwijamy wzór skróconego mnożenia
Odczytujemy miejsca zerowe oraz i rysujemy przybliżony wykres paraboli
Odczytujemy z rysunku, że . To koniec analizowania założenia drugiego.
Na sam koniec rozwiązywania równania kwadratowego z parametrem, musimy wziąć część wspólną z obydwu założeń.
Z pierwszego otrzymaliśmy sumę przedziałów , a z drugiego.
Obliczamy na kalkulatorze przybliżone wartości i, żeby wiedzieć, jak zaznaczyć przedziały na osi liczbowej (zawsze rób to graficznie, aby się nie pomylić). Z przybliżeń dowiadujemy się, że i:
oś liczbowa z zaznaczonymi przedziałami
Odpowiedź:.

Ćwiczenie 10:
Wyznacz wszystkie wartości parametru, dla których równanie ma dwa różne rozwiązania, obydwa dodatnie.
Rozwiązanie:
Na początku zapisujemy odpowiednie założenia:
1. (równanie ma 2 różne rozwiązania)
2.
Zaczynamy od założenia pierwszego. Przed policzeniem delty wypisujemy wartości współczynników:


Musimy znaleźć takie wartość parametru, że.
upraszczamy wyrażenie dzieląc obustronnie przez 4
Aby rozwiązać tę nierówność, będziemy liczyć wyróżnik trójmianu ze zmienną .Mówiąc bardzo potocznie – będziemy liczyć „deltę z delty”. Żeby się nie pomylić, będziemy oznaczać ją jako .
;
Liczymy miejsca zerowe pamiętając, że cały czas „opowiadamy” o wartościach:
;
Rysujemy przybliżony wykres paraboli i zaznaczamy na nim rozwiązania nierówności.
Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest.
Zastanówmy się teraz nad założeniem drugim:
2.
W tego typu założeniu również pomogą nam wzory Viete’a. Zauważ, że jeśli 2 wyrazy są dodatnie, to ich suma też na pewno jest dodatnia, czyli . Nazwijmy to założeniem 2.1.
Po lewej stronie nierówności mamy „gotowy” wzór Viete’a, więc wystarczy do niego podstawić odpowiednie wartości
i rozwiązać nierówność:
; zbiorem rozwiązań jest
Dodatkowo, iloczyn dwóch liczb dodatnich zawsze jest dodatni, więc . Niech to będzie założenie 2.2.
Po raz kolejny rozwiązanie nierówności nie powinno nam sprawić większego problemu:
; zbiorem rozwiązań jest .
Na koniec musimy wziąć część wspólną ze wszystkich założeń, czyli:

Wiedząc, że, i zaznaczamy przedziały i zapisujemy odpowiedź:

Odpowiedź:

Ćwiczenie 11:
Dany jest trójmian kwadratowy. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste ,których różnica jest równa 4.
Rozwiązanie:
Wypisujemy założenia. Na pewno wiesz, że musimy zapisać te dwa:
1.
2.
Dodatkowo zwróć uwagę, że przy wyrazie przy najwyższej potędze występuje też współczynnik z parametrem .
Gdyby , ten współczynnik by się wyzerował. Otrzymalibyśmy wyrażenie postaci:
, czyli. To jest równanie liniowe, czyli takie, które na pewno nie ma dwóch rozwiązań – czyli jest sprzeczne z pierwszym założeniem. Dlatego, musimy dodać założenie 3:
3. żeby równanie nie stało się liniowe.
Dopiero w tym momencie mamy komplet założeń i możemy zacząć je analizować. Zaczynamy od pierwszego:
1.
Podstawiamy współczynniki trójmianu do wzoru na deltę:

Rozwiązujemy nierówność.
,
;;
Rysujemy przybliżony wykres paraboli i zaznaczamy na nim wartości większe od 0:
Zbiór rozwiązań:.
2.
Aby rozwiązać tę nierówność, skorzystamy z tego, że . W takim razie bez większych obaw możemy podnieść to wyrażenie obustronnie do kwadratu. Otrzymujemy wtedy:
wyrażenie podniesione do kwadratu zawsze jest dodatnie, więc możemy pominąć moduł
rozwijamy wzór skróconego mnożenia
rozbijamy środkowy wyraz, bo naszym celem jest „zobaczenie” wzorów Viete’a
to już jest nasza docelowa postać tego równania
podstawiamy wartości, korzystając z wzorów Viete’a

aby rozwiązać takie równanie, wszystkie wyrażenia muszą mieć ten sam mianownik
zapisujemy na jednej kresce ułamkowej
Możliwe, że w szkole nie spotkałeś się jeszcze z równaniami wymiernymi – ale z tym sobie poradzimy. Zauważ, że żeby ono zostało spełnione wystarczy, że licznik będzie równy 0imianownik nie będzie równy 0.
Aby „obiecać sobie”, że, zapisujemy założenie. Teraz wystarczy, że zajmiemy się mianownikiem:
otrzymaliśmy zwyczajne równanie kwadratowe
upraszczamy je
;otrzymujemy 2 rozwiązania.
W takim razie, z założenia 2 mamy:.
3. to założenie nie wymaga od nas żadnego dodatkowego komentarza – po prostu z końcowego zbioru rozwiązań będziemy musieli „wyrzucić”.
Jeżeli już przeanalizowaliśmy każde założenie po kolei, musimy wziąć ich część wspólną:
Z założenia 1:
Przybliżone wartości:;
Z założenia 2:.
Przybliżone wartości:;
Z założenia 3:
Zaznaczamy wszystko na osi liczbowej:

Odpowiedź: