Równania kwadratowe z parametrem

Równania kwadratowe z parametrem stanowią w pewnym sensie zestawienie wszystkiego, co wiemy o równaniach kwadratowych, a właściwie – o ich rozwiązaniach. Pierwszą istotną kwestią jest to, co znak delty mówi nam o ilości rozwiązań równania:

jeżeli > , to równanie ma dwa rozwiązania
jeżeli , to równanie ma jedno rozwiązanie
jeżeli < , to równanie nie ma rozwiązań

Zadanie 1:
Wyznacz ilość rozwiązań równania w zależności od wartości parametru
Rozwiązanie:
Musimy sprawdzić, kiedy równanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie, a kiedy nie ma rozwiązań. Wiemy już, że jest to zależne od znaku wyróżnika trójmianu (delty). W takim razie, musimy ją obliczyć:

W takim razie:
Równanie ma dwa rozwiązania, kiedy > czyli wtedy, gdy
Równanie ma jedno rozwiązanie, kiedy czyli wtedy, gdy
Równanie nie ma rozwiązań, kiedy < czyli wtedy, gdy

jeżeli < , to rozwiązania są różnych znaków (jedno dodatnie, drugie ujemne)
jeżeli > oraz > , to obydwa rozwiązania są dodatnie
jeżeli > oraz < , to obydwa rozwiązania są ujemne