Równania macierzowe

W tym opracowaniu będziemy rozważać układ równań liniowych (n równań z n- niewiadomymi).
Poznamy metodę przedstawiania układu w postaci macierzowej.
Dowiemy się w jaki sposób wyznaczać macierz odwrotną oraz jak przy jej pomocy określić rozwiązanie układu równań.

Rozważmy układ równań postaci:

Układ ten możemy zapisany w postaci gdzie

Uwaga: Macierz A nazywamy macierzą współczynników

Przykład: Rozważmy układ równań

zauważmy że podany układ równań możemy przedstawić w postaci macierzowej przyjmując odpowiednia
za A:

za x:

oraz b:

aby rozwiązać układ równań szukamy macierzy odwrotnej do macierzy .

Musimy zauważyć:
|

Odpowiednio operując na wierszach macierzy macierz A doprowadzamy ją do macierzy jednostkowej którą oznaczamy literą (macierzy jednostkowa to macierz w której liczby leżące na przekątnej macierzy są równe jeden a pod nią i nad nią są równe 0)

Na przykładzie zademonstrujemy w jaki sposób wyznacza się macierzy odwrotną do macierzy A.

Krok 1: Tworzymy macierz dopisaną tzn. do macierzy A dopisujemy macierz jednostkową:

Krok 2: Operujemy na wierszach powyższej macierzy tak by w miejscu gdzie teraz znajduje się macierz A znajdowała się macierz jednostkowa:
ostatni wiersz mnożymy przez -4 i dopisujemy do drugiego otrzymując:

ostatni wiersz mnożymy przez -1 i dopisujemy do pierwszego otrzymując:

pierwszy wiersz mnożymy przez -1 i dopisujemy do ostatniego otrzymując:

ostatni wiersz mnożymy przez -2

Dodajemy drugi wiersz do ostatniego:

Dodajemy drugi wiersz od pierwszego wiersza

dzielimy trzeci wiersz na 9

Dzielimy drugi wiersz na -2:

Mnożymy ostatni wiersz przez 3,5 i dodajemy do pierwszego oraz ten sam wiersz mnożymy przez -7 i dodajemy do pierwszego dostając:

Krok 3: Zapisujemy że macierz odwrotna to:

By wyznaczyć rozwiązania naszego układu należy zapisać:

więc

czyli:

Ćwiczenie 1
Podaj macierz współczynników układu równań

Ćwiczenie 2
Wyznacz macierz odwrotną do A

Ćwiczenie 3
Rozwiąż układ równań: