Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe to takie równania które zawierają niewiadoma przynajmniej dwóch funkcji oraz jej pochodne cząstkowe.

Definicja podstawowa:

F ( Dk (x), Dk-1 (x),……, Du(x), u(x),x) = 0

Jest to równanie różniczkowe cząstkowe k-tego stopnia.
k ≥ liczba całkowita
x należy do U, gdzie U jest otwartym podzbiorem RN

Liniowe równania różniczkowe cząstkowe :

1. Równania Laplace’a :

∆u: uxix. = 0

2. Równania liniowe transportu:

ut = biuxi = 0

3. Równia przewodnictwa cieplnego lub dyfuzji : ut – ∆
u= 0

4. Równania Schroedingera :
iut + ∆u = 0

5. Równania falowe : utt – ∆u = 0

Nieliniowe równia różniczkowe cząstkowe:
1. Nieliniowe równanie Poissona:
-∆u = f(u)

2. Równanie Hamiltona – Jacobiego:
ut + H (Du, x) = 0

3. Skalarne równanie reakcji dyfuzji :
ut – ∆u = f(u)

Pierwsze równanie cząstkowe powstało w połowie 18 wieku , które sformułował J. d’Alembert.

Równania liniowe różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu :
= dla 2 ≤ k ≤n