Równania różniczkowe pierwszego rzędu

W dzisiejszym opracowaniu zajmiemy się równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu. Na wstępie należy sobie powiedzieć, że mamy dwie grupy (dwa typy) tych wyżej wspomnianych równań. Wyróżniamy równania różniczkowe cząstkowe oraz równania różniczkowe zwyczajne. Pierwsze wspomniane równania są raczej trudniejsze, ich zapis wydaje się być bardziej skomplikowany. Ponadto zawierają one zmienne niezależne, funkcję ich zmiennych oraz jej pochodne cząstkowe. Równanie różniczkowe zaś posiadają tylko jedną zmienną niezależną, nieznaną funkcje wyżej wspomnianej zmiennej oraz jej pochodne. Przykłady wyżej wspomnianych równań przedstawia grafika poniżej:

Poniżej przedstawię kilka rodzajów równań różniczkowych pierwszego stopnia:

I. Równania o zmiennych rozdzielonych

Rozwiązywanie takich równań wygląda następująco:
(związek z y) dy = (związek z x) dx /
(związek z y) dy = (związek z x) dx
Po przeliczeniu otrzymujemy rozwiązanie.

II. Równania typu

Aby rozwiązać takie równanie wystarczy tylko podstawić . Następnie wystarczy wyliczyć pochodną: y’, a następnie przekształcić otrzymane wyrażenie matematyczne na równanie typu I o zmiennych rozdzielonych.

III. Równania typu

Podczas rozwiązywania równania takiej postaci wystarczy podstawić do równania t=ax+by+c. Kolejno tak jak w wyżej wspomnianym równaniu wyznaczamy y’. Na sam koniec kolejny raz przechodzimy (przekształcamy) na równanie o zmiennych rozdzielonych.

IV. Równania liniowe:

Rozwiązywanie tego typu równań jest już trochę trudniejsze. Warto podzielić sobie rozwiązywanie takiego równania na sześć kroków.
Na początku wystarczy wykonać równanie . Dzięki temu otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych (te same do w punkcie I). Następnie otrzymujemy równanie, które prezentuje się następująco: y = C … .
W wyżej wspomnianym równaniu stosujemy metodę uzmienniania stałej otrzymujemy z równania y = C … równanie y = C( x ) … .
Kolejno wyliczamy : y’
Otrzymany y i y’ najzwyczajniej podstawiamy do pierwotnego równania. Jeśli dobrze obliczyliśmy wszystko składniki z C(x) powinny nam się skrócić przy obliczeniach.
Potem wyznaczamy związek C'(x)=… . Następnie całkujemy ten związek obustronnie, otrzymując tym samym wynik C(x)=… .
Otrzymane równanie w kroku piątym podstawiamy do równania końcowego w kroku drugim. I rozwiązanie gotowe!

Mam nadzieję, że w sposób przystępny pokazałam sposoby rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu.